Сумма ряда по двум переменным

[feag]

Здравствуйте!При выполнении работы по кристаллооптике возникла задача просуммировать ряд по двум переменным.Подскажите пожалуйста решение.
Вот сам ряд (решил его не причёсывать)
$\[ \begin{gathered} \sum\limits_{m,l = - \infty ... + \infty }^{} {e^{ - ik} m^2 a_x ^2 \frac{1} {{r^3 }}} \hfill \\ r^2 = m^2 a_x ^2 + l^2 a_y ^2 + q^2 a_z ^2 \hfill \\ \end{gathered} \] $
Спасибо!

[PAV]

Почему бы не вынести за знак суммирования величины $e^{-ik}$ и $a_x^2$, которые не зависят от переменных суммирования?

-- Сб фев 27, 2010 12:29:54 --

Если зафиксировать $l$ и вести внутреннее суммирование по $m$, то общий член ряда ведет себя как $\frac{1}{m}$, т.е. получается расходящийся гармонический ряд. Что-то не в порядке.

[feag]

PAV в сообщении #292958 писал(а):

Почему бы не вынести за знак суммирования величины $e^{-ik}$ и $a_x^2$, которые не зависят от переменных суммирования?

Ну я его решил нетронутым из задачи по физике перенести.
Вот причесал:
$\[ \begin{gathered} r^2 = m^2 C_1^2 + l^2 C_2^2 + C_3^2 \hfill \\ C_1^2 e^{ - ik} \sum\limits_{m,l = - \infty ... + \infty } {m^2 \frac{1} {{r^3 }}} \hfill \\ or \hfill \\ C_1^2 e^{ - ik} \sum\limits_{m,l = - \infty ... + \infty } {m^2 \frac{1} {{(m^2 C_1^2 + l^2 C_2^2 + C_3^2 )^{\frac{3} {2}} }}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

PAV в сообщении #292958 писал(а):

Если зафиксировать $l$ и вести внутреннее суммирование по $m$, то общий член ряда ведет себя как $\frac{1}{m}$, т.е. получается расходящийся гармонический ряд. Что-то не в порядке.

По одной переменной я суммировал, а вот по двум не получается.

[ewert]

а зачем его суммировать, если он знакоположителен и во всех смыслах откровенно равен бесконечности?...

[ИСН]

Если Вы ищете постоянную Маделунга или что-то в этом роде, то там есть нюанс.

[feag]

Ой, простите, я ряд неправильно напечатал, совсем замотался.То то и думаю что-то не то.Этот то конечно расходящийся.
Вот:
$\[ \begin{gathered} \sum\limits_{m,l = - \infty .. + \infty } {e^{ - ikr} m^2 \frac{1} {{r^3 }}} \hfill \\ r^2 = m^2 C_1^2 + l^2 C_2^2 + C_3^2 \hfill \\ \end{gathered} \] $

[feag]

Так что он, не суммирующийся получается?