Уравнение в Z/p^2Z

[Sonic86]

Доказать:

$$x^p+(1-x)^p \equiv 1 \pmod{p^2} \wedge x \neq 1 \Leftrightarrow (x+1)^{(x+1)(p-1)} \equiv x^{x(p-1)} \pmod{p^2}$$

желательно элементарно.
Или вообще подскажите хоть что-нибудь, или литературу.

[Профессор Снэйп]

Хм... $p=2$, $x=2$. Имеем $x^p + (1-x)^p = 2^2 + (-1)^2 \equiv 1(\mathrm{mod}\,4)$, но $x^{x(p-1)} = 4$ и $(x+1)^{(x+1)(p-1)} = 27$. Контрпример, однако

[Sonic86]

Извините, забыл $p > 3$.

[Профессор Снэйп]

Какая разница? Посмотрите $x = 5$ и $p = 5$, то же самое... $5^5 + (-4)^5 = -1024 \equiv 1(\mathrm{mod}\,25)$, но $6^{24} \not\equiv 5^{20} (\mathrm{mod}\,25)$.

[Sonic86]

Ааа, блин!!! Дико извиняюсь, я тривиальные ограничения забываю.
$x, x-1, x+1 \in (\mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z})^{\times}$
(еще сразу, нетривиальный пример при $p=59$ получается).

[maxal]

Sonic86
Минимальный контрпример $p=7$, $x=2$. См. http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=332727

[Sonic86]

Извините за дурацкую ошибку. Я исправил соотношение и проверил опытно руками. Теперь глупых ошибок нету. При $x \not \equiv 0;-1 \pmod p$
$(x+1)^p-x^p \equiv 1 \pmod {p^2} \Leftrightarrow (x+1)^{(x+1)(p-1)} \equiv x^{x(p-1)} \pmod {p^2}$

[maxal]

Руст предложил такое решение. Обязаны существовать числа $a$ и $b$ такие, что
$x^{p-1} = 1+ap$
$(x+1)^{p-1} = 1+bp$
Но тогда, во-первых,
$x^p = x+apx$
$(x+1)^p = 1+x+bp(x+1)$
а, во-вторых,
$x^{(p-1)x} \equiv 1+apx\pmod{p^2}$
$(x+1)^{(p-1)(x+1)} \equiv 1+bp(x+1)\pmod{p^2}$
откуда все легко получается.

[Sonic86]

maxal
Спасибо! Прикольно!
Это я пытался найти число решений у уравнения $y^p+x^p \equiv 1 \pmod {p^2}$ с помощью сумм Якоби. В результате получилось вот это, но я смог доказать только то, что у них одинаковое число решений. Видимо, не следовало сильно извращаться.