Как восстановить комплексную функцию по ее мнимой или действ

[regfre]

Как восстановить комплексную функцию по ее мнимой или действительной части.
Расскажите пожалуйста суть решения такой задачи и желаетельно примеры.

[Профессор Снэйп]

Произвольную функцию --- никак. Аналитическую --- через условия Коши-Римана.

[regfre]

Профессор Снэйп в сообщении #290266 писал(а):

Произвольную функцию --- никак. Аналитическую --- через условия Коши-Римана.

А Можно какиенибудь примеры решения?

[Профессор Снэйп]

Пример: $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ и $u(x,y) = x^2-y^2$. $2x = \partial u / \partial x = \partial v / \partial y$, $v(x,y) = 2xy + C(x)$. $2y = -\partial u / \partial y = \partial v / \partial x = 2y + C'(x)$. $C(x) = \mathrm{Const} = c$, $v = 2xy + c$. $f(z) = z^2 + ci$, $c \in \mathbb{R}$.

[regfre]

Спасибо.

[SJ2]

Задачи по восстановлению аналитических функций по действительной или мнимой части можно решать и более простым методом =)
Если действительная часть $U = U(x,y)$ аналитической функции допускает подстановки $x=z/2$ $y=z/2i$, то с точностью до постоянного слагаемого $f(z)=2*U(z/2,z/2i)$
Аналогично
Если мнимая часть $V = V(x,y)$ аналитической функции допускает подстановки $x=z/2$ $y=z/2i$, то с точностью до постоянного слагаемого $f(z)=2i*V(z/2,z/2i)$
Проверим на рассмотренном выше примере:
$f(z)=2*U(z/2,z/2i)=x^2-y^2=2*(z^2/4+z^2/4)=z^2$

[Хорхе]

Круто, не знал. Но вот насчет "проще"... Далеко не всегда.

[SJ2]

Хорхе
Согласен =) Например если при восстановлении функции,например, $U=x/(x^2+y^2)$ $(=Re(1/z))$ придется перебросить начала координат =) Но чисто для решения примеров этот метод подходит гораздо лучше =)

[Padawan]

Этот метод подробно описан в книге Лаврентьев, Шабат "Методы ТФКП". Мне тоже нравится. К тому же он имеет и теоретические применения.

-- Ср июл 07, 2010 19:39:59 --

SJ2 в сообщении #337672 писал(а):

Если действительная часть $U = U(x,y)$ аналитической функции допускает подстановки $x=z/2$ $y=z/2i$, то с точностью до постоянного слагаемого $f(z)=2*U(z/2,z/2i)$

Точнее $f(z)=2U(z/2,z/2i)-U(0,0)+iC$, $C\in\mathbb R$.