Интегрирование. arctg(x)

[Mikle1990]

Попался мне такой пример:
$\int x^2\, \arctg x \,dx$

Как видите, здесь применимо интегрирование по частям. Что-то и так пытаюсь решить и этак, а решить не получается - или тупик или усложнение.

Вот так преобразую...
$ \frac {1}{3} \int \arctg x \,dx^3$

Что посоветуете взять за $u$ и что за $dv$ ???

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #289854 писал(а):

Вот так преобразую...
$ \frac {1}{3} \int \arctg x \,dx^3$

Что посоветуете взять за $u$ и что за $dv$ ???

а Вы тем самым ужо взяли, теперь -- только вперёд

[Mikle1990]

$ \frac {1}{3} \int \underbrace{\arctg x}_u \,\underbrace{dx^3}_{dv} = \frac {1}{3}(x^3\,\arctg x - \int x^3 \, d (\arctg x)) = \frac {1}{3}(x^3\,\arctg x - \int {\frac {x^3} {1 + x^2}}\,dx) =... $

Это разве правильно?

[ewert]

увы, это действительно правильно, и со всех сторон. Теперь двигайте дальше.

[Padawan]

$u$ и $v$ не обязательно писать. Главное - что-то перед дифференциалом, что-то после него. Интегрирование по частям меняет их местами.

[Mikle1990]

У меня получилась вот такая штука...

$ \frac {1}{3} \int \arctg x \,dx^3 = \frac {1}{3} \int \arctg x \,dx^3 $


Исходя из этого:
$ \frac {1}{3} \int \underbrace{\arctg x}_u \,\underbrace{dx^3}_{dv} = \frac {1}{3}(x^3\,\arctg x - \int x^3 \, d (\arctg x)) =\frac {1}{3}(x^3\,\arctg x - \int {\frac {x^3} {1 + x^2}}\,dx) =$
какой надо сделать следующий шаг?

[ИСН]

У Вас под интегралом рациональная функция. Интеграл от рациональной функции берётся всегда. Метод известен.

[ewert]

(Оффтоп)

повторение дважды одного и того же поста -- это нехороший признак.

[gris]

Делите многочлены в столбик. Это полезно уметь делать.

[Mikle1990]

$\int {{x^3} \frac {1} {1 + x^2}}\,dx =$

Как это вычислить? Если по частям интегрировать, то ничего не выйдет.
Можете объяснить простым языком?....

[ewert]

Можем. Это -- называется рациональная дробь. Так вот и действуйте по шаблону. (Хотя, конечно, конкретно тут прям-таки напрашивается внесение одного из иксов под знак дифференциала, после чего всё становится совсем уж очевидно, но это ж однако же факультативно, можно и без этого, тоже просто выйдет, пущай чуток и сложнее)

[Mikle1990]

У меня этот пример стоит ещё до темы "Интегрирование рациональных дробей"
Вот какой он изначально: $\int x^2\, \arctg x \,dx$

[meduza]

Поделите столбиком числитель и знаменатель.

[Mikle1990]

$\frac {x^3} {1 + x^2}} $
Вот это поделить столбиком???
Я не умею. Только числа в столбик могу делить.

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #289903 писал(а):

У меня этот пример стоит ещё до темы "Интегрирование рациональных дробей"

Тогда -- моя предыдущая рекомендация.

По частям -- это само собой, это подразумевается.

А потом -- внести икс под знак дифференциала. Это тоже на инстинкте должно проходить, раз уж степень числителя нечётна.