Построение окружности в трехмерном пространстве

[VDm]

Здравствуйте!

Мне требуется помощь в построении окружности в 3D, если заданы три точки:
$ P_1(X_1, Y_1, Z_1) $
$ P_2(X_2, Y_2, Z_2) $
$ P_3(X_3, Y_3, Z_3) $,
образующие вписанный равнобедренный треугольник ($P_1P_2 = P_2P_3$).

Для построения окружности необходимо получить математическую зависимость координат произвольной точки окружности от угла.

Для двумерного случая задача имеет известное решение (составление уравнений серединных перпендикуляров для нахождения центра окружности, нахождение радиуса, нахождение координат $x = x_0 \pm r \cos(angle)$ и $y = y_0 \pm r \sin(angle)$), однако в трехмерном случае решение этой задачи для меня не очевидно.

На данный момент я смог найти радиус, используя формулу $r = \frac{(P_1P_2)^2P_1P_3}{4S}$, а $S$ вычисляя по формуле Герона.

Прошу вашего совета.

[AKM]

VDm в сообщении #289380 писал(а):

...нахождение радиуса, нахождение координат $x = x_0 \pm r \cos(angle)$ и $y = y_0 \pm r \sin(angle)$)...

Плюс-минусы в этих выражениях излишни (а то и неверны).

Цитата:

На данный момент я смог найти радиус, используя формулу $r = \frac{(P_1P_2)^2P_1P_3}{4S}$, а $S$ вычисляя по формуле Герона.

$$R=\frac{abc}{4S},\quad S=\text{(формула Герона)}$$

Надо путём поворота в пространстве свести задачу к плоской. Решить, и повернуться взад.
Но, наверное, можно и обойтись. Найти нормаль к плоскости ($P_1P_2P_3$), пару взаимно-перпендикулярных ортов (локальная система координат), и вперёд...
Лично я додумывать буду завтра...

-- Вт фев 16, 2010 00:25:23 --

Но, вообще-то, Вам её в каком смысле надо построить? Под что? Или чем?

[Yu_K]

Центр тяжести $O$ трех точек даст положение центра окружности. Радиус также просто найти без применения формулы Герона. Далее вектор нормали к плоскости окружности $N$ не сложно найти, например, как векторное произведение двух векторов $OP_1$ и $OP_2$. Далее для произвольной точки окружности $M$, $OM$ - расстояние равно радиусу - и вектора $OM$ и $N$ ортогональны. Можно также смотреть урвнение, как пересечение сферы заданного радиуса с плоскостью в которой лежат три точки. И если нужно то перейти к параметрическим уравнениям окружности.

[AKM]

Yu_K в сообщении #289403 писал(а):

Центр тяжести $O$ трех точек даст положение центра окружности.

Нет! Возьмите точки

$$\bullet\quad{}_{\displaystyle\bullet}\quad\bullet$$

А нормаль --- да, $P_1P_2\times P_2P_3$.

[VDm]

AKM в сообщении #289384 писал(а):

Но, вообще-то, Вам её в каком смысле надо построить? Под что? Или чем?

Я хочу построить окружность программно в OpenGL, для этого требуется совокупность ее точек в пространстве.

[Yu_K]

AKM в сообщении #289405 писал(а):

Yu_K в сообщении #289403 писал(а):
Центр тяжести $O$ трех точек даст положение центра окружности.
Нет! Возьмите точки

Я прочитал невнимательно условие - вместо равнобедренный прочитал равносторонний.

[AKM]

Ну, может ОупэнЖЭЛь умеет молча всё куда надо поворачивать, и можно не выписывать повороты явно --- не знаю.
Думаю, не поискать ли нам центр $(a,b,c)$ сферы известного теперь радиуса, проходящей через эти точки? Он же --- центр окружности.
Три уравнения, три неизвестных, решение единственно, пахнет линейностью...
Обозначим $a^2+b^2+c^2$ буквой $Q$...

-- Вт фев 16, 2010 08:08:52 --

Yu_K в сообщении #289414 писал(а):

Я прочитал невнимательно условие - вместо равнобедренный прочитал равносторонний.

Ой, а я этого вообще не заметил...
Ну, тогда центр можно искать на биссектрисе. Странное какое-то упрощение, однако...

[Yu_K]

Примерно так, чтоб не искать биссектрису и не трогать Герона - здесь для произвольного треугольника - центр на пересечении серединных перпендикуляров в плоскости треугольника

[VDm]

Yu_K в сообщении #289432 писал(а):

Примерно так, чтоб не искать биссектрису и не трогать Герона - здесь для произвольного треугольника - центр на пересечении серединных перпендикуляров в плоскости треугольника

Поясните пожалуйста, для чего была выбрана точка $M$?
Команда «augment» объединяет вектора и матрицы?
Каким образом было осуществлено вычисление точки $O$?

Заранее большое спасибо.

[Yu_K]

1. Точка $M$ - выбрана как произвольная точка плоскости $f1(x,y,z)=0$, в которой лежат три данные точки. Ну и также используется как рабочая для составления уравнений.

2. Да, объединяет вектора в матрицы.

3. Центр окружности ищется как пересечение трех плоскостей - две плоскости серединные перпендикуляры $f3(x,y,z)=0$, $f2(x,y,z)=0$ (там квадраты сократятся), и плоскость $f1(x,y,z)=0$.

(Оффтоп)

В качестве упражнения найдите параметрическое уравнение окружности в 4-хмерном пространстве, проходящей через три заданные точки.

ЗЫ. Там квадраты и корни в знаменателе лучше убрать - просто оставить модули векторов.

[crack_enigma]

Всем привет!

Yu_K в сообщении #289432 писал(а):

Примерно так, чтоб не искать биссектрису и не трогать Герона - здесь для произвольного треугольника - центр на пересечении серединных перпендикуляров в плоскости треугольника

? P(t):= [ O + ..

1. Эта формула от куда?

2. Как можно параметрически записать формулу окружности в пространстве. Использую углы наклона плоскости в которой она расположена?

[vvvv]

Вот решение задачи в МС Маткад.