2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение03.02.2010, 10:30 
Заблокирован


09/11/08

155
г. Краматорск, Украина
Уважаемые господа математики!
Докажите, пожалуйста, следующие теоремы:
первая теорема: все натуральные числа $N>2$ являются пифагоровыми числами;
вторая теорема: все натуральнае нечетные числа $N>1$ равны разности квадратов дух натуральных чисел.
Желаю успехов.
KORIOLA

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение03.02.2010, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Пифагоровыми, вроде бы, называют тройки чисел, а не сами числа? Или имеется в виду, что для каждого натурального числа большего единицы существует пифагорова тройка, его содержащая.

Вторую теорему можно усилить: каждое нечётное натуральное число большее единицы можно представить в виде разности квадратов двух последовательных натуральных чисел. Это уж слишком просто.

Вопрос - сколько представлений в виде просто разности квадратов существует?

Например, $21=5^2-2^2=11^2-10^2$

Какой-то подвох Вы задумали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение03.02.2010, 13:28 


23/01/07
3415
Новосибирск
KORIOLA в сообщении #285339 писал(а):
первая теорема: все натуральные числа $N>2$ являются пифагоровыми числами;

Если имеются в виду примитивные пифагоровы тройки (все три числа взаимнопросты), то не все натуральные числа могут входить в них!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение06.02.2010, 15:30 
Заблокирован


09/11/08

155
г. Краматорск, Украина
grisy
Все натуральные числа $N>2$ являются пифагоровыми-это значит, что все эти числа входят в тройки пифагоровых чисел. Например, числу $N=105^2$ соответствует 18 пар чисел, с которыми это число образует тройки пифагоровых чисел.
Приведенные теоремы, если проявили интерес, надо доказать с помощью соответствующих уравнений алгебры, а не приводить известные примеры.
Доказательства Вы можете найти на моем сайте в Интернете.
KORIOLA

-- 06 фев 2010, 15:38 --

Ботороеву
Все без исключения натуральные числа $N>2$ (простые или составные, четные или нечетные) входят в тройки пифагоровых чисел.
KORIOLA

-- 06 фев 2010, 15:47 --

Всем
Все составные нечетные натуральные числа равны разности квадратов нескольких пар натуральных чисел.
Например, числу $N=105$ соответствует (равно разности квадратов) 6 пар натуральных чисел.
KORIOLA

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение06.02.2010, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
KORIOLA, я про нечётные числа имел в виду равенство $2n+1=(n+1)^2-n^2$, которое даёт по крайней мере одно решение, но подумал, что Вы хотели, чтобы доказали теорему, что так называемая функция Ширшова - количество представлений натурального числа в виде разности двух степеней натуральных чисел с натуральными показателями, с помощью которой он доказал ВТФ для случая $n=3;4;7;13$ - неограничена для любых показателей.
Что касается теоремы о пифагоровых числах, то она как раз и следует из того, что пифагорова тройка, умноженная на натуральное число, тоже является пифагоровой, а для простых чисел, которые кроме 2 нечётны, верна теорема о представлении нечётного числа в виде разности квадратов, так как квадрат нечётного числа тоже есть нечётное число. Ну и того, что $(3;4;5)$ - пифагорова тройка.
То есть по индукции, если это допускается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение06.02.2010, 18:39 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
gris в сообщении #286127 писал(а):
KORIOLA ... Вы хотели, чтобы доказали теорему, что так называемая функция Ширшова - количество представлений натурального числа в виде разности двух степеней натуральных чисел с натуральными показателями, с помощью которой он доказал ВТФ для случая ... - неограничена для любых показателей

gris. Всё прощаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение06.02.2010, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Виктор Ширшов, Вам не угодишь. Это моя мелкая месть за подержание оффтопа в моей теме.
Хорошо.
База индукции. 3 и 4 пифагоровы, так как $3^2+4^2=5^2$

Предположим, что все числа, меньшие $N$ пифагоровы.

Докажем, что $N$ пифагорово.

Если $N=2k$ чётное, то $N^2=4k^2=4(a^2\pm b^2)=(2a)^2 \pm (2b)^2$, так как $k<N$ - пифагорово.

Если $N=2k+1$ чётное, то $N^2=2(2k^2+2k)+1=(2k^2+2k+1)^2-(2k^2+2k)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение06.02.2010, 19:05 
Заслуженный участник


04/03/09
906
По поводу 1-й теоремы.
Если $N=2k$, то $a=k^2-1\,\,\,\,b=2k\,\,\,\,c=k^2+1$.
Если $N=2k+1$, то $a=2k+1\,\,\,\,b=2k^2+2k\,\,\,\,c=2k^2+2k+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение07.02.2010, 10:55 


23/01/07
3415
Новосибирск
KORIOLA в сообщении #286101 писал(а):
Ботороеву
Все без исключения натуральные числа $N>2$ (простые или составные, четные или нечетные) входят в тройки пифагоровых чисел.

В примитивные пифагоровы тройки не входят четные числа, не кратные $4$ ($2, 6, 10, 14...$).

gris в сообщении #285343 писал(а):

Какой-то подвох Вы задумали.

Подвоха нет. Просто человек дошел в своем изучении до представления натуральных чисел в виде разности двух квадратов и по привычке присвоил этим свойствам свое имя (или свой псевдоним).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы ВОДОГРАЯ
Сообщение12.02.2010, 09:39 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 !  Тема закрыта по причине полной тривиальности вопроса

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group