Помогите спределом

[Aden]

Решить предел не используя правило Лопиталя. Пробовал домножать на сопряжённые, получается 0. MathCAD даёт 2.
$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {2 - x} - 1}}{{\sqrt {5 - x} - 2}} = [\frac{0}{0}]\]$

[ShMaxG]

Вы наверно имели ввиду $x \to 1$.
А чем можно пользоваться? Как я понял, о-малых вы не проходили?

[AKM]

Во-первых, подтвердите-исправьте свою ошибку:

Aden в сообщении #286829 писал(а):

$$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {\color{red}\mathbf{-}} 1} \frac{{\sqrt {2 - x} - 1}}{{\sqrt {5 - x} - 2}} = [\frac{0}{0}]\]$$

Во-вторых, правила выхода из карантина несколько иные, без создания дубликатов. Но от Вашего ловкого написания формул мне как-то хочется этого не заметить. Надеюсь, на досуге Вы с правилами ознакомитесь. А там же наверняка $x\to+1$.

[ShMaxG]

Сделайте замену переменных, $x=t+1$. И воспользуйтесь (после домножения на сопряженный) тем, что $\[\frac{{\sqrt {1 + t} - 1}} {t} \to \frac{1} {2}\] $. Это можно понять, если учесть $\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {1 + t} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\left( {1 + \frac{1} {2}t} \right)^2}\]$. Ну или так же домножив на соответствующий сопряженный числителю множитель.

[AKM]

Я тоже думал предложить эту замену, но вот умножил не только знаменатель на "сопряжённое", но и числитель тоже. То есть числитель и знаменатель сначала на $\sqrt{5-x}+2$, потом их же обоих на $\sqrt{2-x}+1$.
И вожделенная МатКадовсая двойка легко образовалась!

[ShMaxG]

Ну да, логично, в общем-то. Домножение числителя и знаменателя на их сопряженные фактически минусы после корней заменяет на плюсы, прямо избавляя тем самым от неопределенности.

[Aden]

Спасибо. Самое интересное, что пробовал так, что-то не выходило.
$\[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2 - x} - 1}}{{\sqrt {5 - x} - 2}} = [\frac{0}{0}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt {2 - x} - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt {5 - x} + 2} \right) \cdot \left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {5 - x} - 2} \right) \cdot \left( {\sqrt {5 - x} + 2} \right) \cdot \left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right) \cdot \left( {\sqrt {5 - x} + 2} \right)}}{{\left( {1 - x} \right) \cdot \left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt {5 - x} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}} = \frac{4}{2} = 2; \\ \end{array} \] $