Математика в шахматах

[Dan77790]

Здравствуйте!

Было бы интересно узнать, есть ли вообще какие-то заслуживающие внимания исследования шахмат в математике? Или все ограничивается книгой Гика? Может кто-то на этом форуме этим занимался? Я сам КМС по шахматам, но в интернете ничего кроме философии Полуяна и альфа-бета отсечений не встречал.... Сейчас шахматные программы занимаются перебором вариантов, различными эвристиками, прунингом, Null move, и т.д., а мне интересно, может кто-то именно занимался этим вопросом с теоретической точки зрения? Может делали какие-то обобщения, теоремы для шахмат? Или как-то применяли различные математические методы к этой игре... Вообще, шахматы с точки зрения математики - тривиальная игра с полной информацией, но в ближайшие 1000 лет просчитать шахматы невозможно, видимо.... Интересны ли шахматы современным математикам? То же самое интересно и для игры Го.

[AD]

Если честно, ничего сложнее правила квадрата не встречал. А, ну еще можно вспомнить про $\ell_\infty$-метрику, описывающую движение короля (ну типа что по горизонтали и по диагонали скорость одинаковая, ну помните этот этюд Рети с двумя пешками). Ну еще что конь не может темп передать. Но это всё до математики не дотягивает.

Разумеется, еще есть куча задач про расстановку шахматных фигур, но это уже до шахмат не дотягивает.

Короче, так связи и не нашел в свое время.

[Dan77790]

AD

Про метрику эту ничего не слышал) То есть кроме теории игр и, немного, комбинаторики (где достижений особо нет), шахматы нигде больше наверное не рассматриваются, хотя эта метрика видимо из другой оперы). Неинтересная видимо для математики тема(

[maxal]

Dan77790 в сообщении #286094 писал(а):

комбинаторики (где достижений особо нет),

Как это нет? Например, ладейные многочлены - вполне состоявшееся направление исследований в комбинаторике.

[Dan77790]

maxal

Ничего себе) Не знал, спасибо.... Щас погуглю)

[AD]

Dan77790 в сообщении #286094 писал(а):

Про метрику эту ничего не слышал)

Это такое модное обозначение для того, что Вы и так знаете; в данном случае оно сводится к тривиальному $\rho_{\ell_\infty}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}$, и обозначает количество ходов, которое требуется королю, чтобы дойти из точки $(x_1,y_1)$ в точку $(x_2,y_2)$. Если бы король не ходил по диагонали, то была бы $\ell_1$-метрика: $\rho_{\ell_1}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$.

Математикам эти вещи прежде всего интересны на непрерывных бесконечномерных досках ...

[maxal]

А вот, например, статья о комбинаторной проблеме расстановки королей:
H.S. Wilf The problem of the kings

[Dan77790]

То есть пространство шахматной доски как-то описывается через математические пространства? Или для каждой фигуры свое пространство?)

[meduza]

Dan77790
Скворцов В. А. Примеры метрических пространств.

[Dan77790]

А теория игр вообще развивается?) Она вроде как шахматам уделяла внимание....

[vek88]

Шахматы - это пример тривиальной, но супергромоздкой задачи. И в плане теории игр здесь, мне кажется, нет ничего интересного. Задача про восемь ферзей как-то относится к математике, но она фактически не имеет отношения к шахматам (разве что в ней есть ферзи на шахматной доске).

А теория игр в духе классической книги Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» не интересуется детерминированными задачами. Вот, скажем, blackjack (карточная игра в казино) - это подпадает по теорию игр. Лет 10 назад я даже вычислил оптимальную стратегию для этой игры - но применять не стал, поскольку крупье, вытащив несколько картинок сразу резко снизит мои шансы (а сказать ему позвольте мне проверить 6 колод по 52 карты - это не реально).

[Коровьев]

Не знаю, как сейчас, но эндшпиль король, ферзь, пешка против короля и ферзя в восьмидесятых годах был очень мало изучен, даже с помощью машинных программ.
В этой задаче мне видится не только стратегия игр, но и чисто математические мотивы. Насколько я помню, там были и передачи хода и циклы.
Ну и постановка многих задач с малым числом фигур, думаю, вполне можно задать математически. Для суперкомпьютера.
Если грубо, имеется $N$ возможных позиций. Пронумеруем позиции и составим супер матрицу. $N*N, где $a_i_j=1$ , если при ходе белых из $N_i$ возможен по шахматным правилам переход в $ N_j $, в противном случае $a_i_j=0$. И мы получили суперматрицу некого графа для белых уже абсолютно отвлечённого от шахмат. Аналогично и для чёрных.
-А как решать-то?
-Откуда я знаю, я не математик.

[age]

Коровьев в сообщении #286613 писал(а):

Не знаю, как сейчас, но эндшпиль король, ферзь, пешка против короля и ферзя в восьмидесятых годах был очень мало изучен, даже с помощью машинных программ.

Не знаю насчет пяти фигур, но в базе данных эндшпилей шахматной программы, которую я использовал еще в 2003 году были все эндшпили, включая до двух любых фигур против короля. Помню как я удивился, когда в одной из позиций компьютер выдал "Мат в 54 хода". Звучит абсурдно, но такие позиции существуют.

-- Вт фев 09, 2010 16:00:33 --

Что касается математической модели игры, ее составить несложно, так и работают шахматные программы: есть цель, есть условия, есть правила. Делается математическое описание и ищется приближенное решение.

Единственно, что все существующие решения являются итеративными. Это как поиск числа $\pi$. Но что самое интересное, в шахматах в отличие от поиска числа $\pi$ точное решение существует и очень интересно бы его увидеть.

[tolstopuz]

age в сообщении #286695 писал(а):

Помню как я удивился, когда в одной из позиций компьютер выдал "Мат в 54 хода". Звучит абсурдно, но такие позиции существуют.

http://dominiko.livejournal.com/9769.html

517 ходов до первого взятия и 525 до мата

[Коровьев]

С ума сойти! Ужель уже такие мощные шахматные программы.
У меня есть/похвастаюсь/ уникальный экземпляр - "Альбом ФИДЕ, 1945-1955", 1964г. Там собрано около 2000 избранных задач и этюдов за этот период. Так вот, там есть задача "Мат в 182 хода" 1952г. Это в то время. когда не было никаких шахматных программ и, естественно, компьютеров. Правда, там есть и взятия и ходы пешек. Решение основано на повторяющихся циклах, вынуждающих/цугцванг/ черных сделать продвижение пешки и когда пешкам не остаётся больше ходов, они вынуждены сделать ход, приводящий к развязке. Чем не математическая идея.