Теория вероятности

[MellOw]

Г(1/2)=$ \int_{0}^{\infty} z^{\frac12 -1}e^{-z}dz= { }\int_{0}^{\infty} {\frac {e^{-z}}{\sqrt z}}dz=$
делаем замену | $z= {\frac{t^2}{2}};\, dz=tdt$|
{ }\int_{0}^{\infty} {\frac {e^{\frac {-t^2}{2}}}{\sqrt {\frac{t^2}{2}}}}tdt= { }\sqrt 2\int_{0}^{\infty} {e^{\frac {-t^2}{2}}dt= { }\sqrt 2\int_{0}^{\infty} {e^{-(\frac {t}{\sqrt 2})^2}dt= $
Получаеться так:
$= \sqrt 2 \sqrt 2 \int_{0}^{\infty} {e^{-(\frac {t}{\sqrt 2})^2}d{(\frac {t}{\sqrt 2})}$
Преподаватель говорит что тут потералась 2, должно получиться вот так:
$= {\frac{\sqrt 2 \sqrt 2}{2}} \int_{0}^{\infty} {e^{-(\frac {t}{\sqrt 2})^2}d{(\frac {t}{\sqrt 2})}$

Не могу понять где она потерялась, подскажите

[ИСН]

Он врёт.

[ewert]

MellOw в сообщении #285242 писал(а):

Преподаватель говорит что тут потералась 2, должно получиться вот так:
$= {\frac{\sqrt 2 \sqrt 2}{2}} \int_{0}^{\infty} {e^{-(\frac {t}{\sqrt 2})^2}d{(\frac {t}{\sqrt 2})}$

Нигде не потерялась, верны именно предыдущие выкладки, а вот как раз последний вариант -- неверен. Однако и преподавателя тоже можно понять -- у него просто в глазах зарябило. Какое-то совершенно бессознательное жонглирование формальными заменами. Что, собственно, Вам надо было получить -- и из чего?...

[MellOw]

Тут надо досокращаться до интеграла Ейлера Пуассона $\int_{0}^{\infty} {e^{-t^2}dt=\sqrt {\pi}$

Отсюда $= {\frac{\sqrt 2 \sqrt 2}{2}} \int_{0}^{\infty} {e^{-(\frac {t}{\sqrt 2})^2}d{(\frac {t}{\sqrt 2})}$, сокращаем корни и двойку и получаем $ \int_{0}^{\infty} {e^{-(\frac {t}{\sqrt 2})^2}d{(\frac {t}{\sqrt 2})}=\sqrt {\pi}$

[ewert]

MellOw в сообщении #285253 писал(а):

Тут надо досокращаться до интеграла Ейлера Пуассона $\int_{0}^{\infty} {e^{-t^2}dt=\sqrt {\pi}$

Ну, вот тут-то как раз двойка точно потеряна, но дело не в этом, а в неразумной идеологии. Вы должны двигаться в противоположном направлении, причём избегая явно избыточных двоек:

$${\sqrt{\pi}\over2}=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\Bigg[t^2=x,\;t=\sqrt{x},\;dt={1\over2}\,x^{-1/2}dx}\Bigg]={1\over2}\int_0^{+\infty}x^{-1/2}e^{-x}dx={1\over2}\,\Gamma\left({1\over2}\right).$$

[MellOw]

Я кстате не обратил внимание на границы интегрирования
$\int_{0}^{\infty} {e^{-t^2}dt= {\frac{\sqrt{\pi}}{2}}$ в моем случае от ноля до безконечности

Теперь всё понял, откуда что береться.
ewert, Большое вам спасибо за розъяснения.