связность в R^m

[terminator-II]

в пространстве $\mathbb{R}^m$ задана симметричная связность, тензор кривизны Римана равен нулю тождественно. Символы Крисоффеля $\Gamma_{ij}^k(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$ -- гладкие функции причем
$\sup_{x\in\mathbb{R}^m}|\Gamma_{ij}^k(x)|<\infty.$ Доказать, что в $\mathbb{R}^m$ можно ввести глобально евклидовы координаты т.е.
что имеется диффеоморфизм $x\mapsto y$ пространства $\mathbb{R}^m$ на себя такой ,что в координатах $y$ символы Кристоффеля равны тождественно нулю

[Padawan]

Возьмем $m=2$ и рассмотрим кольцо $\ln\pi<|x|<\ln2\pi$. Через $D$ обозначим универсальную накрывающую поверхность, лежащую над этим кольцом (риманова поверхность логарифма). В $D$ положим $\Gamma^k_{ij}\equiv 0$. Рассмотрим диффеоморфизм $y=f(x)\colon D\to\mathbb{R}^2$ пространства $D$ на всю плоскость, определяемый следующим образом. Сначала область $D$ комплексной экспонентой $x_1'+ix_2'=e^{x_1+ix_2}$ отображается на полуполосу $\pi<x_1'<2\pi$. Затем эта полоса арктангенсом $y_1=\arctan({x_1'-3/2\cdot\pi}),\ \ y_2=x_2'$ растягивается на всю плоскость. Теперь связность в $\mathbb{R}^2$ определим переносом из $D$, т.е. той, формулой, по которой она преобразуется при замене координат. Если обозначить $y_i=x_i'$, то в новых координатах

$$ \Gamma^{k'}_{i'j'}=\frac{\partial^2 x^k}{\partial x^{i'}\partial x^{j'}}\frac {\partial x^{k'}}{\partial x^k}+\frac{\partial x^i}{\partial x^{i'}}\frac{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^k}\Gamma^k_{ij}=\frac{\partial^2 x^k}{\partial x^{i'}\partial x^{j'}}\frac {\partial x^{k'}}{\partial x^k} $$

Я прикинул (надо уточнить еще) - первые производные при $y_1\to\infty$ =$O({y_1}^2)$, а вторые =$O(\dfrac{1}{{y_1}^3})$ так что при $y_1\to\infty$ $\Gamma^{k'}_{i'j'}\to 0$. А так как по $y_2$ функции $\Gamma^{k'}_{i'j'}$ периодичны, то $\Gamma^{k'}_{i'j'}$ ограничены во всей плоскости.

$\mathbb{R}^2$ с такой связностью будет контрпримером. Так как если локально евклидовы координаты существуют, то они единственны с точностью до афинного преобразования. А в области $D$ из исходных координат никаким афинным преобразованием нельзя получить глобально евклидовы.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #282525 писал(а):

Через $D$ обозначим универсальную накрывающую поверхность, лежащую над этим кольцом (риманова поверхность логарифма). В $D$ положим $\Gamma^k_{ij}\equiv 0$. Рассмотрим диффеоморфизм $y=f(x)\colon D\to\mathbb{R}^2$

а разве риманова поверхность логарифма диффеоморфна $\mathbb{R}^2$?.

но в любом случае тут по-моему проблема именно с накрывающей. я понимаю так, что Вы кольцо накрыли полосой. да в кольце нельзя ввести глобальные евклидовы координаты, потому что его вообще нельзя покрыть одной картой , а в полосе эти координаты будут глобальными евклидовыми

[Padawan]

Я там перепутал немножко - полосу надо не арктангенсом , а тангенсом растянуть. Прошу прощения. Но сути это не меняет, так как представлял я именно то что нужно. Считайте, что это просто опечатка.

terminator-II в сообщении #282544 писал(а):

а разве риманова поверхность логарифма диффеоморфна $\mathbb{R}^2$?.

$D$ - это же не кольцо - а его накрывающая поверхность. Это не вся риманова поверхность логарифма, а только её часть, лежащая над кольцом. Диффеоморфизм описан. Сначала взаимно однозначно (и конформно, но это не важно) на полосу, а потом полосу на $\mathbb{R}^2$.

terminator-II в сообщении #282544 писал(а):

а в полосе эти координаты будут глобальными евклидовыми

Что-то я не понимаю... там связность не нулевой будет уже - если из $D$ её перенести.

-- Пт янв 22, 2010 11:29:05 --

Вот если бы $\Gamma^k_{ij}(x)\to 0$ при $x\to\infty$, то тогда, наверное, да можно глобально евклидовые ввести. Наверняка какая-нибудь такая теорема есть...

[terminator-II]

Padawan в сообщении #282546 писал(а):

terminator-II в сообщении #282544 wrote:
а в полосе эти координаты будут глобальными евклидовыми


Что-то я не понимаю... там связность не нулевой будет уже - если из $D$ её перенести.

а тензор Римана нулевым будет локальная евклидовость осталась

вот я хотел отметить следующее. из того, что в кольце координаты не являются глобально евклидовыми не следует, что они не будут таковыми на накрывающей. или я не правильно Вас понял?
давайте возьмем- еще проще- окружность $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ c угловой переменной $y$ и накрывающей прямой $\mathbb{R}$. координата на прямой $x$.
на прямой $\Gamma_{11}^1(x)=0$ и на окружности $\Gamma_{11}^1(y)=0$. при отображении $y=x\pmod {2\pi}$ все согласуется. однако на прямой координата $x$ глобально евклидова, а на окружности - координаты локально евклидовы просто потому, что глобальных координат там вообще нет

[Padawan]

Что Вы понимает под локально-евклидовыми координатами?

Я - то, что в этих координатах $\Gamma^i_{jk}=0$. А глобально евклидовые - это локально евклидовые, заданные одной картой.

-- Пт янв 22, 2010 12:40:08 --

У моего примера - плоскость с построенными $\Gamma^k_{ij}$ локально евклидовыми координатами будут обычные декартовы координаты в $D$.

-- Пт янв 22, 2010 12:45:13 --

terminator-II в сообщении #282552 писал(а):

вот я хотел отметить следующее. из того, что в кольце координаты не являются глобально евклидовыми не следует, что они не будут таковыми на накрывающей.

В $D$ есть локально евклидовы координаты. Другие локально евклидовы можно получить только афинным преобразованием. А афинное преобразование координат сохраняет возможность или невозможность накрыть все пространство одной картой. Раз нельзя $D$ накрыть одной картой, то глобально евклидовых там ввести нельзя.

[terminator-II]

локально евклидовы координаты в некоторой окрестности многообразия это координаты в карте которая покрывает эту окрестность, такие, что символы Крисоффеля равны нулю. Глобально евклидовы координаты, я употребляю этот термин только по отношению к $\mathbb{R}^m$, это когда пространство $\mathbb{R}^m$ покрыто единтсвенной картой с координатами в которых символы Кристоффеля равны нулю.
Если связность в $\mathbb{R}^m$ такова, что тензор Римана равен тождественно нулю, то в окрестности любой точки можно ввести евклидовы координаты, но это не значит, a priori, что эти координаты можно продолжить во все $\mathbb{R}^m$. Про то и задача

[Padawan]

Ну все правильно. Я все так и понимал. И вот пожалуйста $(\mathbb{R}^2,\Gamma^{k'}_{i'j'})$ - контпример. Локально евклидовы есть $(D,0)$, а глобально евклидовых нет.

-- Пт янв 22, 2010 12:56:42 --

Их лучше не евклидовыми назвать, а афинными, так как исходное то не римановым может быть, а просто со связностью.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #282576 писал(а):

Раз нельзя $D$ накрыть одной картой, то глобально евклидовых там ввести нельзя.

это сочетается с моей терминологией, если многообразие нельзя накрыть одной картой то в нем нельзя ввести глобальные координаты ( хоть евклидовы, хоть какие угодно) это тавтология какая-то. Я вот чего не понял

Padawan в сообщении #282525 писал(а):

Рассмотрим диффеоморфизм $y=f(x)\colon D\to\mathbb{R}^2$

а раз $D$ диффеоморфно $\mathbb{R}^2$ то почему

Padawan в сообщении #282576 писал(а):

нельзя $D$ накрыть одной картой

[Padawan]

Потому что из тех, которые там есть можно другие локально евклидовы только афинным преобразованием получить (чтобы связность нулевой осталась)

$D$ можно накрыть одной картой, но в ней связность не нулевой будет

-- Пт янв 22, 2010 13:04:15 --

Черт, что то я запутался, признаюсь

[terminator-II]

Padawan в сообщении #282591 писал(а):

Потому что из тех, которые там есть можно другие локально евклидовы только афинным преобразованием получить

а как точно формулируется это утверждение, мне, вчастности, пока непонятно, что значит аффинное преобразование в области не совпадающей с линейным пространством

[Padawan]

terminator-II в сообщении #282544 писал(а):

да в кольце нельзя ввести глобальные евклидовы координаты, потому что его вообще нельзя покрыть одной картой

Это Вы меня запутали

-- Пт янв 22, 2010 13:12:02 --

terminator-II в сообщении #282592 писал(а):

Padawan в сообщении #282591 писал(а):

Потому что из тех, которые там есть можно другие локально евклидовы только афинным преобразованием получить

а как точно формулируется это утверждение, мне, вчастности, пока непонятно, что значит аффинное преобразование в области не совпадающей с линейным пространством

Надо подумать

[terminator-II]

мне вообщем начинает казаться, что задача кривая, но по другим причинам. по-моему условие, которое там наложено слишком жесткое. я просто брал систему Фробениуса и накладывал условие ее глобальной разрешимости, но она кажется глобально разрешима при всех глобально определенных функциях $\Gamma$ другое дело , будет ли ее решение диффеоморфизмом

[Padawan]

Вот как сформулировать: переход от одних координат к другим должен задаваться линейными функциями


У нас есть пространство афинной связности $\mathfrak{M}$ . $(\mathbb{R}^2,\Gamma^{k'}_{i'j'})$ - атлас,состоящий из одной карты. $(D,0)$ - атлас, состоящий из многих карт, в каждой из которых $\Gamma=0$ .

Допустим существует атлас, $(\mathbb{R}^2,0)$, состоящий из одной карты с $\Gamma=0$. Тогда для любой точки $\mathfrak{x}\in\mathfrak{M}$ найдется окрестность, покрываемая картой из $(D,0)$, причем переход от координат в этой карте к координатам в $(\mathbb{R}^2,0)$ должен быть линейным. Допусти он задается как $y=Ax+b$. Надо показать, что матрица $A$ и вектор $b$ не зависят от выбора $\mathfrak{x}$.

[terminator-II]

давайте еще порассуждаем.

и так. в $\mathbb{R}^m=\{x=(x^1,\ldots,x^m)\}$ задана симметричная связность; символы Кристоффеля $\Gamma_{ij}^k(x)$ -- гладкие функции; тензор кривизны Римана тождественно равен нулю. мы ищем глобально определенную замену координат $y(x)=f(x)$ ($f :\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m$ -- диффеоморфизм) такую, что в новых координатах символы Кристоффеля тождественно равны нулю.

Доказательство. Замена координат ищется как решение следующей задачи Коши:

$$ \frac{\partial y^p}{\partial x^k}=w^p_k,\quad \frac{\partial w^p_r}{\partial x^s}=w^p_k\Gamma^k_{rs}(x),\quad w^p_r(0)=\delta^p_r,\quad y(0)=0. (*) $$

из общей теории известно, что решение этой системы $y(x),w(x)$ локально (при малых $|x|$) существует и единственно. Поскольку решение системы (*) получается как
композиция потоков соответствующих систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (матрицы которых строятся по коэффициентам $\Gamma^k_{rs}(x)$) то решение это определено при всех $x$, если только $\Gamma^k_{rs}(x)$ определены при всех $x$.

Причем решение $w(\tilde x)=((w^p_k(\tilde x))$ может быть получено следующим образом. Пусть $x=t\tilde x$ где $t\in\mathbb{R}$. другими словами $$x=t\tilde x$ -- это параметрическое уравнение прямой проходящей через $0$ и $\tilde x$.
Пусть теперь $W(t)=(w^p_k(t\tilde x))$
Тогда матрица $W(t)$ удовлетворяет уравнению

$$\dot W=W\Gamma_{\tilde x}(t),\quad \Gamma_{\tilde x}(t)=(\Gamma^k_{rs}(t\tilde x)\tilde x^s),\quad W(0)=E$$

Соответственно $(w^p_k(\tilde x))=W(1)$.

Такое матричное уравнение можно написать для любой точки $\tilde x$ беря всевозможные прямые $x=t\tilde x$. Ясно, что для любой матричной системы будет $\det W(t)\ne 0.$

Однако этого не достаточно для того, чтоб $y(x)$ было диффеоморфизмом. Достаточным условием является, например, такое $\|(\frac{\partial y}{\partial x})^{-1}\|\le c$ при всех $x$.

Для этого нам нужна матрица $B=W^{-1}$. Она удовлетворяет системе

$$\dot B=-\Gamma_{\tilde x} B,\quad B(0)=E.$$

Т.е. нам нужно, что бы при любой параметризации $x=t\tilde x$ линейная система ОДУ с матрицей $-\Gamma_{\tilde x}$ была бы устойчива.

В итоге получаем

Теорема.
Если симметричная связность $\Gamma^k_{rs}(x)$ с тождественно нулевым тензором Римана такова, что линейная система ОДУ с матрицей $-\Gamma_{\tilde x}(t)=-(\Gamma^k_{rs}(t\tilde x)\tilde x^s)$ устойчива при любом $\tilde x\ne 0$ то существуют координаты в которых все символы Кристоффеля тождественно равны нулю.

Вроде так...