Планиметрия (доказательство)

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, с чего начать доказательство, что $AK^2+BM^2=4R^2$. Если в окружности радиуса $R$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $KM$.

[gris]

Тут простор для первичных возможностей. Теорема Пифагора, свойства пересекающихся хорд, площадь вписанного четырёхугольника, площадь треугольника. Глаза разбегаются. Повыбирайте, начертив такой же красивый чертёж, как в прошлый раз.

[meduza]

Решается в две строчки через теорему синусов (http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_синусов). $\frac {AK} {\sin \angle AMK}=2R$, $\frac {BM} {\sin \angle MAB}=2R$, углы $\angle AMK$ и $\angle MAB$ связаны очень просто. Осталось возвести в квадрат и сложить.

[Marina]

gris СПАСИБО!
Буду рассматривать все предложенные Вами варианты решения.
meduza СПАСИБО!
Ваше решение через теорему синусов мне понятно. После возведения в квадрат и сложения получила:
$AK^2+ BM^2=4R^2Sin^2(AMK+MAB)=4R^2Sin^290=4R^2$

[meduza]

Marina в сообщении #282081 писал(а):

После возведения в квадрат и сложения получила:

Не правильно. Это называется бездумный подгон под ответ. А решением будет $(\alpha=\angle AMK$):
$AK^2=4R^2\sin^2\alpha,\ BM^2=4R^2\sin^2(\frac {\pi} 2-\alpha)=4R^2\cos^2\alpha$
$AK^2+BM^2=4R^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=4R^2$

[Marina]

meduza
Да, как говорится: "поспешишь, людей насмешишь"...
СПАСИБО!!!