помогите разобраться с пределами

[papirus]

1.найти предел используя эквивалентности
a)

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sin {\frac {\pi x}4}}-\sin { \frac \pi x}} {\sqrt{12x-8}-\sqrt{6x^2-x^3}}$$

b)

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac 6{{\sqrt {x^3+3x}-2}}-\frac 4{x-1}$$

подскажите плз как решать, какие эквив-ти, и где использовать?

и еще один:
доказать по определению:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4+x^2}}-\sqrt {4-x^2}} {{x}}=0$$

[Sonic86]

Э-эх. Сначала для $x \to a$сделайте замену $x=a+t, t \to 0$ и преобразуйте. Эквивалентные бесконечно малые такие: $\sin t \sim t$ и $(1+t)^{\alpha} \sim 1+ t \alpha$.
Во 2-м задании где непонятно? Что-нибудь сделали? Что? Напишите.

[papirus]

1) в первом сделал замену x=t+2, t=x-2,t=>>0
преобразовал и получилось вот это: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{sin{\frac {\pi (t+2)} 4}-sin{\frac \pi{t+2}}}{2\sqrt {3t+4}-\sqrt{-t^3+12t+16}}}$
неопределенность так же и осталась {$\frac 00$}
тут надо как-то эквивалентность ипользовать, задание такое
2)во 2-ом я так же сделал замену x=1+t,t=x-1,t-->0
подставил преобразовал и получил это :$\mathop {\lim}\limits_{t \to 0} (\frac 6{\sqrt {t^3+3t^2+6t+4}-2}-\frac 4t})$ а как дальше, помогите пожалуйста

[ewert]

В первом для знаменателя используйте эквивалентность $\sqrt{1+\varepsilon}\sim1+{1\over2}\varepsilon$ (где эпсилоны -- это те комбинации $t$ и его степени, которые получатся после вынесения свободных членов за знак корня). А в числителе преобразуйте разность синусов в произведение; под синусом окажется бесконечно малая (которая заменяется на саму себя по 1-му замечательному пределу), а косинусный множитель -- ну к чему будет стремиться, к тому и будет.

Во втором -- домножьте числитель и знаменатель первой дроби на сопряжённое и потом приведите к общему знаменателю (там $t$ окажется общим множителем).

[papirus]

Sonic86, ewert спасибо щас попробую, а как 3-ее?
надо по определению:
$ \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}a_n=a \Longleftrightarrow \forall\epsilon >0 \exists N(\epsilon)>0: \forall n>N(\epsilon), |a_n-a|<\epsilon$ ,получается$ |\frac{\sqrt{4+x^2}-\sqrt{4-x^2}}x|<\epsilon\Rightarrow $тут надо наверно оценку делать? но какую?

[Sasha2]

Ну можно и по определению, если воспользоваться тривиально доказываемым неравенством:
$\sqrt{A+b}-\sqrt{A-b}<2\sqrt{b}$
При A положительном и b меньшим половины A.

[ewert]

papirus в сообщении #281878 писал(а):

,получается$ |\frac{\sqrt{4+x^2}-\sqrt{4-x^2}}x|<\epsilon\Rightarrow $тут надо наверно оценку делать? но какую?

Ну что значит оценку, говоря формально -- надо просто решить это неравенство относительно иксов.

Но гораздо разумнее, конечно, сжульничать оценкой. Снова домножьте и разделите на сопряжённое. У Вас получится требование типа: икс делить на сумму корней не превосходит того эпсилона. А сумма корней (в отличие от разности!) -- если модуль икс не превосходит, ну например, единицы -- прекрасно оценивается как сверху, так и снизу. В которую сторону понадобится -- в ту и оценивается.

[papirus]

должно же получится типа: $x>N(\epsilon)$
получается чтоли $\frac {2x}{\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4-x^2}}<\frac {2x}{8}<\epsilon$ ? должно же быть $x>N(\epsilon)$

[ewert]

это с какой стати больше-то?...

------------------------------------------------
а-а, это я не прочитал Ваше предыдущее утверждение -- понадеялся, что ну уж там-то всё должно быть правильно. Ан нет. Вы перепутали определения предела последовательности и предела функции.

[papirus]

так ? Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
т.е получается должно быть так? $\frac {2x}{\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4-x^2}}<\frac {2x}{8}=\frac x4<\epsilon$ ч.и.т.д

-- Ср янв 20, 2010 20:01:19 --

только не понятно почему x по модулю не должно превосходить 1?

[ewert]

papirus в сообщении #281900 писал(а):

только не понятно почему x по модулю не должно превосходить 1?

А просто потому, что там не восемь (и даже не четыре). Но вот зато $2+\sqrt3$ при тех самых иксах -- для оценки вполне сгодится. А какая разница, что там за константа?... -- лишь бы была.

[papirus]

papirus в сообщении #281869 писал(а):

1) в первом сделал замену x=t+2, t=x-2,t=>>0
преобразовал и получилось вот это: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{sin{\frac {\pi (t+2)} 4}-sin{\frac \pi{t+2}}}{2\sqrt {3t+4}-\sqrt{-t^3+12t+16}}}$
неопределенность так же и осталась {$\frac 00$}
тут надо как-то эквивалентность ипользовать, задание такое
2)во 2-ом я так же сделал замену x=1+t,t=x-1,t-->0
подставил преобразовал и получил это :$\mathop {\lim}\limits_{t \to 0} (\frac 6{\sqrt {t^3+3t^2+6t+4}-2}-\frac 4t})$ а как дальше, помогите пожалуйста

для первого: в знаменателе применил эквивалентность получается: $\frac {}{2\sqrt{4+3t}-\sqrt{-t^3+12t+16}}=\frac{}{4\sqrt{1+\frac {3t}4}-4\sqrt{1-\frac {t^3}{16}+\frac {3t}4}}=\frac{}{4(1+\frac {3t}8)-4(1-\frac {t^3}{32}+\frac {3t}8)}$
в знаменателе 0 получается. Где ошибка?

а надо же продолжить))) раскрыть скобки тогда в знаменателе число =>>>8


а в числителе синус к чему стремиться? $sin(\frac {\pi t^2+4\pi t}{2(t+2)})$

[papirus]

и во 2-ом говорили мне домножить и к общему знаменателю, получается так: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{6\sqrt{t^3+3t^2+6t+4}-4t^2-12t-12}{t(t^2+3t+6)}$ тут надо что-то со знаменателем сделать

[ewert]

papirus в сообщении #281941 писал(а):

тут надо что-то со знаменателем сделать

ну попросту домножьте истчо раз на сопряжённое -- или истчо раз вынесите четвёрку вверху за скобки и замените получившийся корень на нечто эквивалентное.

(Да, а со знаменателем ничего более делать не надобно, он и так уж вполне хорош.)

papirus в сообщении #281914 писал(а):

а в числителе синус к чему стремиться? $sin(\frac {\pi t^2+4\pi t}{2(t+2)})$

а он не то чтобы стремился, а он эквивалентен. Чему?... (учитывая, что аргумент-то стремится к нулю)

[papirus]

papirus в сообщении #281914 писал(а):

а в числителе синус к чему стремиться? $sin(\frac {\pi t^2+4\pi t}{2(t+2)})$

Цитата:

а он не то чтобы стремился, а он эквивалентен. Чему?... (учитывая, что аргумент-то стремится к нулю)

должно быть так: $sin(\frac {\pi t^2+4\pi t}{2(t+2)})\sim\frac {\pi t^2+4\pi t}{2(t+2)}+..$что тут еще должно быть?