множество всех подмножеств натуральных чисел

[maxmatem]

д-ть что булеан натуральных чисел континуальное мн-во. я понимаю, что задача тривиальная, но всё же возникла проблема. мне понятно, что мощность не меньше континума , но как показать,что не больше?

[jetyb]

Каждое подмножество $N$ может быть однознано описано бесконечной двоичной последовательностью из нулей и единиц.

[Профессор Снэйп]

Кстати, не такая простая задача. Континуум --- это, по определению, мощность $\mathbb{R}$. То есть надо доказывать, что $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ равномощно $\mathbb{R}$.

В какой-то теме даже явную биекцию строили. Сейчас уже не помню где, давно это было.

-- Ср янв 20, 2010 13:55:10 --

maxmatem в сообщении #279959 писал(а):

мне понятно, что мощность не меньше континума , но как показать,что не больше?

Кстати, то, что "не меньше", на мой взгляд более сложный вопрос, чем про "не больше".

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #281840 писал(а):

Кстати, то, что "не меньше", на мой взгляд более сложный вопрос, чем про "не больше".

А, кажется, понял. Вы, видимо, намекаете на континуум-гипотезу. Но она тут не при чём.

Очевидно именно "не меньше континуума": есть биекция между вещественными числами и двоичными дробями, не оканчивающимися цепочкой единиц. Т.е. между числами и некоторым подмножеством множества всех подмножеств.

А равно континууму -- потому что есть общая теорема: если к бесконечному множеству добавить счётное, то его мощность не изменится. А множество "запрещённых" двоичных дробей именно счётно.