дельта функция

[terminator-II]

доказать, что если функция $\psi\in \mathcal{D'}(\mathbb{R})$ такова, что $\mathrm{supp}\,\psi=\{0\}$
то найдется целое $k\ge 0$ и константа $c$ что $\psi(x)=c\delta^{(k)}(x)$

[ewert]

чего-то сильно сомневаюсь. А почему это не комбинация дельта-функции и её производных (ну пусть даже и хотя бы конечная)?...

[Gafield]

Да, будет конечная линейная комбинация производных. Доказательство есть, например, во Владимирове "Уравнения математической физики".

[ewert]

ну и что, из того носителя следует, что это будет вполне конкретная производная вполне конкретного порядку?...

(тут я даже и не сомневаюсь)

[Gafield]

ewert в сообщении #277523 писал(а):

ну и что, из того носителя следует, что это будет вполне конкретная производная вполне конкретного порядку?...

Я этого не утвенрждал Очевидно же, что любая конечная линейная комбинация удовлетворяет условию. А других решений нет, см. ссылку выше.

[terminator-II]

Я как всегда невнимателен.
Если еще кому интересно я доказываю эту теорему с помощью теоремы Л Шварца о локальном представлении обобщенных функций [Иосида Функциональный анализ]

[nckg]

terminator-II в сообщении #277735 писал(а):

Если еще кому интересно я доказываю эту теорему с помощью теоремы Л Шварца о локальном представлении обобщенных функций

А вот по этой теореме (если я правильно понял, что имеется в виду) есть один вопрос.

Вот формулировка теоремы:

(Оффтоп)

(terminator-II, Ваше доказательство исходной задачи мне представляется примерно таким: представим функцию $\psi$ в окрестности нуля как производную от $g\in L_1(-1,1)$. Поскольку $supp \psi = {0}$, слева и справа от нуля $g$ должна быть полиномом, а в нуле полиномы могут не сшиваться, откуда и вылезают $\delta$-функции)

Пусть теперь $f_n\to f$ в $\mathcal D'(\mathbb R)$. По теореме 9.1 $f_n = D^{j_n} g_n$, $g_n \in L_1(\mathcal O)$.
Вопрос. Можно ли сделать так, чтобы $j_n$ было одним и тем же для всех $n$?

[terminator-II]

nckg в сообщении #277834 писал(а):

(terminator-II, Ваше доказательство исходной задачи мне представляется примерно таким: представим функцию $\psi$ в окрестности нуля как производную от $g\in L_1(-1,1)$. Поскольку $supp \psi = {0}$, слева и справа от нуля $g$ должна быть полиномом, а в нуле полиномы могут не сшиваться, откуда и вылезают $\delta$-функции)

да, по существу так

nckg в сообщении #277834 писал(а):

Вопрос. Можно ли сделать так, чтобы $j_n$ было одним и тем же для всех $n$?

думаю, что нет

[nckg]

terminator-II в сообщении #278023 писал(а):

думаю, что нет

Почему? Если нельзя, то нужно построить последовательность обобщённых функций, у которых $j_n\to \infty$, $n\to \infty$.
Я пытался рассмотреть последовательность вида $f_n=c_n \delta^{(n)}(x)$, но констант $c_n$, таких, что $f_n\to 0$, $n\to \infty$, как оказалось, не существует...

[terminator-II]

бррррррррр! погодите, погодите

nckg в сообщении #277834 писал(а):

Пусть теперь $f_n\to f$ в $\mathcal D'(\mathbb R)$. По теореме 9.1 $f_n = D^{j_n} g_n$, $g_n \in L_1(\mathcal O)$.
Вопрос. Можно ли сделать так, чтобы $j_n$ было одним и тем же для всех $n$?

сам вопрос странноватый, а что значит "сделать"?
$f_n= f$ устроит?

[nckg]

ОК, можно поставить вопрос так: верно ли утверждение:
Пусть $f_n\to f$ в $\mathcal D'(\mathbb R)$, $\mathcal O\Subset \mathbb R$ --- открытое множество. Тогда существует $j\in \mathbb N$, такое, что для любого $n\in \mathbb N$ имеем: $f_n = D^j g_n$ в $\mathcal O$, где $g_n\in L_1(\mathcal O)$.

В случае $f_n=f$ это утверждение следует из самой теоремы Шварца.

[terminator-II]

понял. думаю что это не так. пример придумать не могу.