Существует ли тетраэдр

[passs]

Существует ли тетраэдр, длины ребер которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\sqrt[3] 2$?

Строгое предупреждение за размещение задачи текущей олимпиады!

[BapuK]

можно попробовать так:
проверить на то, чтобы для каждой тройки ребер существовал треугольник
или этого будет недостаточно?

[ИСН]

Во-первых, не всех (не всякие три ребра образуют грань). Во-вторых, да, этого недостаточно (пусть одна сторона равна 1.99, а остальные по 1: все треугольники существуют, а вместе как-то не того). В-третьих, см. http://mathworld.wolfram.com/Cayley-Men ... inant.html. В-четвёртых, забыл.
Надо думать.

[Roman Voznyuk]

ИСН в сообщении #276691 писал(а):

Во-вторых, да, этого недостаточно (пусть одна сторона равна 1.99, а остальные по 1: все треугольники существуют, а вместе как-то не того).

Почему не того? Грубо говоря берете два равносторониих треугольника со стороной 1, кладете друг на друга и начинаете их раздвигаете "книжкой" до тех пор пока расстояние между крайними точками не будет равно 1.99. Вот и ваш тетраэдр.

[jetyb]

Не получится: предельное расстояние, на которое можно раздвинуть крайние точки, равно $\sqrt{3}$.

[maxal]

passs в сообщении #276635 писал(а):

Существует ли тетраэдр, длины ребер которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\sqrt[3] 2$?

Проверьте для сторон выполнимость неравенств тетраэдра.

[Roman Voznyuk]

jetyb в сообщении #276741 писал(а):

Не получится: предельное расстояние, на которое можно раздвинуть крайние точки, равно $\sqrt{3}$.

Да вы правы.
Однако это дает нам критерий: к треугльникам еще надо учитывать расстояние между скрещивающимися прямыми, которыми являются непересекающиеся ребра тетраэдра.

[V.V.]

Задача предложена на идущем сейчас конкурсе "Покори Воробьевы горы".