В группах GL2(R) и GL2(C) описать элементы конечного порядка

[MMM-2000]

Есть задачка:
В группах $GL_{2}(R)$ и $GL_{2}(C)$ описать элементы конечного порядка.

Мое решение:
Пусть эти матрицы - матрицы линейного преобразования плоскости.
Тогда понятно, что $|detA|=1$ иначе происходит постоянно растяжение или сжатие плоскости и не существует такого $n$ что $A^n\neqA$, тоесть если матрица будет образовывать группу конечного порядка то $|detA|=1$.
А это есть ортоганальные матрицы и ортоганальные умноженные на $\left( \begin{array}{ccc}{1 & 0 \\0&-1}\end{array}\right)$

Для $R$ я доказал что элементами конечного порядка будут матрицы поворота на рациональный угл, удовлетворяющие вышеуказанным условиям (это не сложно доказывается), ну и соответственно эти матрицы умноженные на $\left( \begin{array}{ccc}{1 & 0 \\0&-1}\end{array}\right)$.

А вот что делать с $C$? Интуитивно понятно, что там должно быть нечто похожее, но как формально это записать не представляю.
Подскажите пожалуйста, как можно реализовать нечто подобное в комплексном случае.

[Cave]

В обоих случаях приведите матрицу к жордановой нормальной форме.

[MMM-2000]

Спасибо!

[MMM-2000]

Опять проблема с этой задачей.
Мне преподаватель предложил рассмотреть $GL_{2}(Z)$
Я нашел там 8 элементов конечного порядка. Это диагональные матрицы с элементами $+1$ и $-1$ и косодиагональные с этими же элементами. Я их нашёл в предположении, что матрица должна быть ортогональной.
Но мне сказали, что есть ещё. От куда можно взять ещё?
Подскажите пожалуйста...

[Cave]

Например, матрица $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ имеет конечный порядок.
Где-то пропустили варианты.

[MMM-2000]

Я рассуждал так: из действительного случая я взял то что $|detA|=1$ и то что это должна быть матрица поворота или отражения, но видомо я здесь ошибся.
А вы не знаете как их можно все найти?

[MMM-2000]

Только что удалось выяснить что если $detA=1$ и $a_{1}+a_{4}=0$ (где $a_{1}$ и $a_{4}$ элементы главной диагонали матрицы $A$) то порядок элемента будет конечным, т.е. впринципе элементов конечного порядка бесконечно много даже в $GL_{2}(Z)$.
Но должны быть еще матрицы т.к. например $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ не удовлетворяет выше указанным условиям.
Помогите пожалуйста найти все матрицы...

[mihiv]

Какому условию должны удовлетворять собственные значения этих матриц?

[MMM-2000]

Нужно что бы они являлись корнями $n$-ой степени из единицы.

[mihiv]

Это нужно использовать.

[MMM-2000]

Для $GL_{2}(C)$ я понимаю как это можно использовать(2 пост темы).
А как этим можно воспользоваться для $GL_{2}(Z)$?

[Cave]

MMM-2000
То, что элементов конечного порядка бесконечно много, очевидно, поскольку матрица, подобная матрице конечного порядка, также имеет конечный порядок ($A$ и $B$ называются подобными, если существует $C$, что $A = C^{-1} B C$; подобие задаёт отношение эквивалентности на группе). Поэтому интересно искать элементы конечного порядка с точностью до подобия.
На Википедии в Examples -> 3 написано, что нетривиальные решения для $SL(2,\mathbb{Z})$ - это две матрицы $S$ и $ST$, где $S = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ - генераторы группы. В вашем случае нужно ещё добавить их умножение на произвольную матрицу конечного порядка с определителем $-1$.
Но вопрос, почему это так, конечно, остаётся. Я подробно не выписывал - для $GL(2, \mathbb{R})$ точно никакого удобного критерия не получается?

[mihiv]

-- Ср дек 30, 2009 23:10:00 --

Для $GL_2(\mathbb Z)$ из рассмотрения собственных значений матриц получается такой критерий для элементов конечного порядка: элемент имеет конечный порядок лишь в следующих случаях
а)$a_{11}+a_{22}=0,detA=\pm 1;$
б)$a_{11}+a_{22}=\pm 1,detA=1;$
в)матрицы $I$ и $-I$

[MMM-2000]

Да действительно, матриц бесконечно много.
И они должны удовлетворять этим критериям.
Всем спасибо за помощь!