как сделать проще?

[HZ_Ga'd_like]

Подскажите как решить задачу проще:

$\iint\limits_{G}^{}{xy}$ $dxdy$ G - область ограниченная кривой $x=3t-\frac{t^3}{3}$,
$y=2t-t^2$ и осью OY

Я сделал сведением к повторному интегралу, сначала записав по $dy$ потом по $dx$, и делал рационализирующую замену $t=1-\sqrt{1-y}$

Можно ли как нибудь эту задачу решить проще?

[Leox]

попробуйте поменять порядок интегрирования, возможно єто упростит

[vvvv]

Может вам поможет эта картинка.

[Профессор Снэйп]

Так ведь надо-то всего лишь площадь посчитать! Для этого уходить из параметрического задания кривой совсем не обязательно. Имеем

$$ S = - \int_0^{t_0} x(t) \frac{dy}{dt} dt, $$

где $t_0$ --- значение параметра $t$, соответствующее отличной от нуля точки пересечения кривой с осью ординат.

-- Сб дек 19, 2009 08:01:52 --

Чёта я в картинке сомневаюсь. Имеем $x = t(3-t)(3+t)/3$, то есть $x$ равен нулю при трёх различных значениях $t$. А на рисунке кривая пересекает ось ординат всего в двух точках. Хотя, скорее всего, мы просто не видим часть кривой, которая проходит через точку $(0,-15)$.

-- Сб дек 19, 2009 08:05:39 --

Хм... А ведь получается, что в условии не хватает данных. Какую из фигур брать: справа от оси $Oy$ или слева?

[vvvv]

Ну, да.Перемудрил

[HZ_Ga'd_like]

Параметр t, принимает значения от 0 до 3

-- Сб дек 19, 2009 08:26:18 --

И надо посчитать объем а не площадь

[Профессор Снэйп]

HZ_Ga'd_like в сообщении #272952 писал(а):

И надо посчитать объем а не площадь

То ли лыжи не едут...

Вообще-то да, $xy$ я не приметил. Но всё равно, почему объём? И объём чего?

[HZ_Ga'd_like]

Справа от оси оу, а почему двойной интеграл, это задание такое

[Профессор Снэйп]

HZ_Ga'd_like в сообщении #272952 писал(а):

Параметр t, принимает значения от 0 до 3

Если после этого всё же счесть слова про объём не заслуживающими внимания, то тогда считаем

$$ \int_0^3 \left( \int_0^{x(t)} s ds \right) \frac{dy}{dt}(t) y(t) dt, $$

подставляя сюда $x(t) = t - t^3/3$ и $y(t) = 2t-t^2$. Разница невелика.

-- Сб дек 19, 2009 11:53:43 --

HZ_Ga'd_like в сообщении #272955 писал(а):

Справа от оси оу, а почему двойной интеграл, это задание такое

Двойной интеграл - это площадь. Объём - это тройной

[HZ_Ga'd_like]

Двойной интеграл от единицы- площадь, а от функции это объем.

[Профессор Снэйп]

HZ_Ga'd_like в сообщении #272958 писал(а):

Двойной интеграл от единицы- площадь, а от функции это объем.

А единица что, не функция?

Впрочем, ладно, это уже оффтоп начинается. Что делать, я указал.

[ewert]

HZ_Ga'd_like в сообщении #272874 писал(а):

Можно ли как нибудь эту задачу решить проще?

Ну уж не знаю, проще или нет. Можно сделать замену $x=r(3t-t^3/3),\quad y=r(2t-t^2)$ и проинтегрировать по прямоугольнику $r\in[0;1],\quad t\in[0;3]$. Интеграл по $r$ берётся моментально (получится $1/4$), а вот в интеграле по $t$ придётся помучиться с раскрытием скобок. И ещё надо будет отследить знак якобиана.

[Профессор Снэйп]

А проще всего, наверное, через формулу Грина.