Предел \sin ( \pi \sqrt{ n^2+1})

[Panik]

Spektor в сообщении #272149 писал(а):

$$\lim_{n\to\infty}(\sin \ n( \pi \ \((1+1/2*n^2+o(1/n^2))$$

подправил

[Panik]

а о малое отбросить т к она бесконечно мало? что можно с этим дальше сделать?

[ИСН]

о-малое нельзя отбрасывать, за это бьют отчаянно.
Раскройте все скобки внутри синуса.

[Профессор Снэйп]

Panik в сообщении #272196 писал(а):

Spektor в сообщении #272149 писал(а):

$$\lim_{n\to\infty}(\sin \ n( \pi \ \((1+1/2*n^2+o(1/n^2))$$

подправил

Я не понимаю, что означает $1/2*n^2$. Это $1/(2n^2)$ или $n^2/2$?

-- Чт дек 17, 2009 01:36:28 --

Вообще, конечно, в ряд расписывать необязательно. Достаточно лишь заметить, что $\sqrt{n^2+1} - n$ стремится к нулю.

[Panik]

Профессор Снэйп в сообщении #272208 писал(а):

Panik в сообщении #272196 писал(а):

Spektor в сообщении #272149 писал(а):

$$\lim_{n\to\infty}(\sin \ n( \pi \ \((1+1/2*n^2+o(1/n^2))$$

подправил

Я не понимаю, что означает $1/2*n^2$. Это $1/(2n^2)$ или $n^2/2$?

$1/(2n^2)$

[AKM]

Предлагаю Вам с о малым пока не заморачиваться, а так на это дело посмотреть:

$$\sin\left(n\pi\sqrt{1+\frac1{n^2}}\right)=\sin\left[n\pi\left(1+\underbrace{\sqrt{1+\frac1{n^2}}-1}_{\displaystyle\varepsilon}\right)\right]=\sin(n\pi+n\pi\varepsilon).$$

Про то, что я обозначил как епсилон, Вы уже знаете, что оно маленькое будет. Разложите синус суммы, а потом с епсилоном разберитесь.

[Профессор Снэйп]

AKM в сообщении #272211 писал(а):

$$\sin(n\pi\sqrt{1+\frac1{n^2}}=\sin\left[n\pi(1+\underbrace{\sqrt{1+\frac1{n^2}}-1}_{\displaystyle\varepsilon}\right]=\sin(n\pi+n\pi\varepsilon).$$

Лучше так:

$$ \sin\big(\pi\sqrt{n^2+1}\big) = \sin\left(\pi n + \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) $$

[Panik]

Лучше так:

$$ \sin\big(\pi\sqrt{n^2+1}\big) = \sin\left(\pi n + \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) $$

объсните пожалуйства как произведение аргумента преобразовалось в такую сумму?

[AKM]

О да, так лучше! В смысле, ещё лучше

[Panik]

я хочу разобраться как получилось такое преобразование объсните пожалуйста

[ИСН]

У семи нянек, говорят...

[AKM]

$$\sqrt{1+\frac1{n^2}}-1=\frac{\sqrt{1+n^2}}{|n|}-1=\frac{\sqrt{1+n^2}}{n}-1=\frac{\sqrt{1+n^2}-n}{n} =\frac{\sqrt{1+n^2}-n}{n}\cdot\underbrace{\frac{\sqrt{1+n^2}+n}{\sqrt{1+n^2}+n}}_{=\text{адын!}}=\ldots$$

(второе равенство потому что эн положительно!)
-- Ср дек 16, 2009 22:56:31 --

Пожалуйста, перемножьте два последних числителя сами. Пожалуйста...

[Panik]

да я все самостаятельно попробовал вывести получилось щас буду дальше двигатся

-- Ср дек 16, 2009 23:24:09 --

$$ \sin({\pi {n} })cos{\frac{\pi }{\sqrt{n^2+1}+n}\ + \cos({\pi {n}})sin{\frac{\pi }{\sqrt{n^2+1}+n} $$

вот что получил второе слагоемое обращаеся в ноль ? а что делать с первым?

[AKM]

По-моему, наоборот: первое в ноль, и надо что-то делать со вторым.
$\sin n\pi=???$ $\cos n\pi=???$

[Panik]

$$sin{\frac{\pi }{\sqrt{n^2+1}+n} $$

он обращается в ноль значит второе слагаемое равно нулю а вот с первым я незнаю что делать(