Несобственный интеграл + предел

[MTV]

Доказать, что если функция $f(x)$ монотонна и ограничена на промежутке $(0;1]$ и существует несобственный интеграл

$$\int\limits_0^1 x^{\alpha} f(x)\,dx$$

то

$$\lim\limits_{x \to +0} x^{\alpha+1} f(x) = 0$$

Доказать сие утверждение решил от противного.
Пусть предел не равен нулю.
1) $\lim\limits_{x \to +0} x^{\alpha+1} f(x) = C,~~~ C \neq 0$
Отсюда следует, что при $x \to +0$: $f(x) \sim \frac{1}{Cx^{\alpha+1}}$
Отталкиваясь от определения предела, мы можем подобрать такое $\varepsilon>0$, что на $x \in (0,\varepsilon]$ будет справедливо $f(x) > \frac{1}{(C+1)x^{\alpha+1}}$.
Но интеграл $\int\limits_0^{\varepsilon} \frac{dx}{(C+1)x}$ расходится, значит расходится и исходный. Противоречие.
2) $\lim\limits_{x \to +0} x^{\alpha+1} f(x) = +\infty$
Аналогичным образом оцениваем $f(x)$ снизу функцией $g(x) = \frac{1}{x^{\alpha+1}}$, интеграл от которой расходится, и подбираем $\varepsilon$, для которого эта оценка справедлива.
В точности такие же рассуждения и с $-\infty$.
3) $\nexists \lim\limits_{x \to +0} x^{\alpha+1} f(x).$
Подскажите, пожалуйста, как мне размышлять здесь?

[Полосин]

Воспользуйтесь неравенством $\int\limits_x^1 t^\alpha f(t)dt \ge f(x)\frac{1-x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$.

[MTV]

Возникают 2 (быть может, глупых) вопроса.
1) Как получилось это неравенство?
2) Как мы им можем воспользоваться? Насколько я понимаю, с его помощью мы можем сделать оценку снизу. Только не могу понять, как

[INDIGO1991]

Полосин в сообщении #271535 писал(а):

Воспользуйтесь неравенством $\int\limits_x^1 t^\alpha f(t)dt \ge f(x)\frac{1-x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$.

Если функция монотонно возростает то пожалуй это неравенство не будет выполняться.

[RIP]

Воспользуйтесь тем, что $\int_x^{2x}t^\alpha f(t)\,dt\xrightarrow[x\to+0]{}0$ (и монотонностью).