функция ограниченной вариации

[voipp]

Подскажите литературу или сайты где можно почитать про то как взять полное изменение(вариацию) от кусочно-непрерывной функции с конечным числом разрывов 1 рода.Если взять ее по определению то это будет неправильно.Мне говрили что при нахождении вариации нужно сначала взять вариацию от функции как если бы она была гладкая а потом учесть ее разрывы.Как их учесть не знаю и вообще есть ли доказательство этого т.к. без него у меня не примут решения.

[neverland]

Любая функция ограниченной вариации имеет не более чем счетное множество точек разрыва. По определению это как?

[voipp]

Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.спасибо википедии

[neverland]

спасибо учебнику вообще-то Но неважно, просто интересно как еще, как не по определению?

[ewert]

voipp в сообщении #271012 писал(а):

Подскажите литературу или сайты где можно почитать про то как взять полное изменение(вариацию) от кусочно-непрерывной функции с конечным числом разрывов 1 рода.

Из общих соображений -- никак. Любая такая функция имеет право колебаться сколь угодно часто.

Но если она ещё и дифференцируема (в смысле абсолютной непрерывности) -- то вариация равна интегралу от модуля производной.

[voipp]

))) я просто взял вариацию по определению от кусочно-гладкой функции.А взял я ее так - разбил область определения на участки так что бы точки разрыва были на границах участков и таким образом не учитывал эти разрывы и вышла ошибка.

-- Вс дек 13, 2009 19:51:11 --

Мне препод сказал что нужно сначала вычислить вариацию функции как если бы она была непрерывной на всем отрезке ,потом поколдавать над ее разрывами и в конце просто сложить мое первое вычисление и результат колдовства с разрывами.)))
Теперь осталось понять какую магию нужно применить к точкам разрыва и почему так можно сделать.
Вот еще из википедии -
Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).
Я так думаю может это как то поможет.

-- Вс дек 13, 2009 19:55:06 --

Функция у меня такая - значит переменная х минус сумма единичных ступенчатых функций.
взять интеграл от нормы производной я не могу потому что производная не непрерывная(и вообще там адская производная с дельта-функциями).

[ewert]

"Кусочная гладкость" -- штука существенно более сильная, чем "кусочная непрерывность". Что бы под этим ни понималось (а пониматься, в принципе, может разное).

В любом случае: если Вы хотите отслеживать вариацию "вручную" (по отдельным отрезкам) -- то Вы обязаны отслеживать не столько отрезки непрерывности, сколько отрезки монотонности. А эти отрезки, вообще говоря, друг с другом не связаны.

voipp в сообщении #271088 писал(а):

Функция у меня такая - значит переменная х минус сумма единичных ступенчатых функций.взять интеграл от нормы производной я не могу потому что производная не непрерывная(и вообще там адская производная с дельта-функциями).

Не нужны дельта-функции. Вариация есть попросту приращение того икса плюс сумма модулей всех скачков тех ступенек (не важно, прибавляются они или вычитаются). А почему -- подумайте сами.

[voipp]

а скажите тогда такую вещь - вариация суммы равна сумме вариаций?

-- Вс дек 13, 2009 20:37:29 --

а не дадите подсказку?

[ewert]

voipp в сообщении #271109 писал(а):

а скажите тогда такую вещь - вариация суммы равна сумме вариаций?

Нет конечно. Возьмите сумму функции и минус её.

[voipp]

подсказку видимо не дадите((( Из геометрических соображений вроду бы да - нужно прибавлять модуль колибания но вот как это доказать аналитически(((

[AD]

Цитата:

))) я просто взял вариацию по определению от кусочно-гладкой функции.А взял я ее так - разбил область определения на участки так что бы точки разрыва были на границах участков и таким образом не учитывал эти разрывы и вышла ошибка.

Ну и что? Должно всё равно правильно выйти. Ну вот возьмем функцию, всюду равную нулю, и только в нуле - единице. Считаем вариацию на $[-1,1]$. Разбиваем на $[-1,0]$ и $[0,1]$. Получаем приближенное значение $2$, то есть как раз точное, что и требовалось.

[voipp]

понимаете здесь смысл в том что у единичной функции не определено значение в точке разрыва.У нее левый предел равен 0 а правый 1.Если например разрыв в 0 то разбив так как вы сказали мы получим что слева от нуля вариация равна 0(Значение в 0 у нее не определено зато определен левый предел который равен 0)
и справа мы получим вариацию 0(слева от 0 она равна 1)

[ewert]

я чего-то совсем перестал понимать, об чём речь. Что значит "не учитывал точки разрыва" -- скачки в этих точках не учитывал, что ли?... Ну так если так, то бред и выйдет -- скачки откровенно дают вклад в вариацию.

[voipp]

а как доказать(вывести) что при подсчете вариации нужно именно брать модули скачков?Вот мне говорят - вариация в твоем случае будет равна разнице значений х на концах отрезка + сумма модулей колебаний в точках разрыва.А как доказать что это будет максимальная сумма?Почему нельзя взять другое разбиение и оно не будет превосходить это?
Вобщем как-то нужно аналитически вывести это.

[ewert]

Общая идея: вариация суммируется по промежуткам, на которые разбивается полный отрезок.

Выделите малые окрестности разрывов. Суммарная вариация от всей функции по ним будет, очевидно (в силу непрерывности непрерывного слагаемого) стремиться к сумме модулей скачков -- при стремлении длин этих промежутков к нулю. А по оставшимся промежуткам -- не менее очевидно, к вариации непрерывной составляющей по всему отрезку (в силу той же непрерывности).