Нужен ликбез по области определения

[Wody]

Поясните, пожалуйста, какая область определения у $f(x) = \sqrt[3] {(x-2)^2}$?
Ведь, по идее, ее можно вычислить для любого $x \in \mathbb R$, но степенная функция с рациональным показателем определена ($f(x) = (x-2)^{\frac 2 3} $) для положительного значения аргумента.

[Профессор Снэйп]

Если написан корень из квадрата, то при всех $x$, а если степень $2/3$, то только при $x \geqslant 2$.

[ewert]

Корень нечётной степени по определению корня определён для всех подкоренных выражений. Некоторые пуритане считают, что степень с рациональным показателем -- не то же самое, что корень, а частный случай произвольного вещественного показателя. А некоторые так не считают. (Обычно первое типично для школьной математики, второе -- для высшей, в которой уже не до этих заморочек). Уточните у своего начальства.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #270937 писал(а):

А некоторые так не считают.

Да на самом деле все так считают. Иначе $(-1)^{1/3} \neq (-1)^{2/6}$ и прочий абсурд подобного сорта.

[ewert]

Я уже, кажется, об этом где-то говорил, но на всякий случай повторю. Возьмите любой справочник по интегралам -- и увидите там массу выражений типа $(x-1)^{1\over3}$. И ничего, никто не волнуется, все спокойны.

[Sasha2]

С чего бы это? Корни n-х степеней определены и для отрицательных значений. Другое дело, что у отрицательных чисел отсутствуют арифметические значения корней n-х степеней. В Вашем же случае не требуется даже и этого. Корень третьей степени всегда считается из положительного числа. Два же выражения, которые Вы привели, не являются автоматическими тождествами, а доказываются (элементарно, но все же доказываются) на основе свойств степеней с целыми показателями.
Ну и, наконец, область определения любой функции такова, какой Вы ее укажите. Но часто бывает, что аналитическое выражение, используемое для вычисления значений функций, не может применяться во всей области вещественных чисел. Тогда и возникает такая задача, как определение области ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ. Это та область (тоже являющаяся частьью всего множества вещественных чисел), в которой данное аналитическое выражение в принципе может быть использовано.

[neverland]

Sasha2 в сообщении #270940 писал(а):

Корень третьей степени всегда считается из положительного числа.

Что вы этим хотите сказать?

[Sasha2]

Только то, что в той функции, которую привел товарищ, корни ему нужно считать только из положительных чисел.

[Профессор Снэйп]

Тут как раз тот случай, когда область определения следует из формы записи.

К примеру, $f(x) = \sqrt[4]{x^2}$ и $g(x) = \sqrt{x}$ --- разные функции с разными областями определения (хоть и совпадающие на пересечении этих областей).

Запись $a^q$ для $q \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ подразумевает $a \geqslant 0$. Запись $\sqrt[n]{a}$ подразумевает $a \geqslant 0$ при чётном $n > 0$ и $a \in \mathbb{R}$ при нечётном $n$. В частности, записи $\sqrt[3]{a}$ и $a^{1/3}$ определены при разных $a$.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #270960 писал(а):

Запись $a^q$ для $q \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ подразумевает $a \geqslant 0$.

Это кому как нравится, но вот что она уж точно подразумевает, так это несократимость $q$.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #270963 писал(а):

Это кому как нравится, но вот что она уж точно подразумевает, так это несократимость $q$.

Число не может быть сократимо либо не сократимо. Сократимой либо несократимой может быть дробь, значение которой равно числу. К примеру, $1/3$ и $2/6$ --- разные дроби (несократимая и сократимая), имеющие одно и то же значение. Про само число, равное значению этой дроби, ничего такого сказать нельзя.

[ewert]

Именно потому запись вида $a^{2\over6}$ и не имеет смысла -- она по умолчанию и автоматом приводится к виду $a^{1\over3}$.

Вот чтобы понятнее было. Попытайтесь сосчитать интеграл $\int_{-1}^0x^2dx$. Так ничего и не выйдет! У Вас.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #270975 писал(а):

Попытайтесь сосчитать интеграл $\int_{-1}^0x^2dx$. Так ничего и не выйдет! У Вас.

$$ \int_{-1}^0 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|^0_{-1} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} $$

Что-то неправильно?

-- Вс дек 13, 2009 19:28:50 --

Если что, я писал $q \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$

-- Вс дек 13, 2009 19:31:14 --

ewert в сообщении #270975 писал(а):

Именно потому запись вида $a^{2\over6}$ и не имеет смысла -- она по умолчанию и автоматом приводится к виду $a^{1\over3}$.

В любом случае, Вы согласны с тем, что $\sqrt[m]{a^n} \neq a^{n/m}$ для отрицательных $a$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #270994 писал(а):

$$ \int_{-1}^0 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|^0_{-1} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} $$

[/math]
Что-то неправильно?

Всё неправильно. Какой ещё $x^3$?... когда на самом-то деле $x^{6\over2$?!...

А Вы ведь ровно это и утверждали -- что оно там не определено. И точка.

[Wody]

Спасибо за ответы. Стало яснее.
Тогда можно сказать, что при $q \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$, где $q=\frac m n$ несократима, то функция $a^q$ определена для всех a при нечетном n, для $a^m \ge 0$ при четном n, и для $a > 0$ при $q \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$?