Доказать изоморфизм групп

[Ven0m104]

Помогите разобраться в задаче пожалуйста.
Есть группа $U$ комплексных чисел равных по модулю единице и группа ненулевых комплексных чисел $C^*$ Нужно доказать изоморфизм факторгруппы $U/C^*$ и группы вещественных положительных чисел $R_>_0$ . Все группы по умножению.

[ewert]

(наверное, всё-таки $C^*/U$, а не $U/C^*$...)

Сопоставьте каждому положительному числу $r$ класс смежности, состоящий из всех элементов $C^*$, модуль которых равен $r$.

[Ven0m104]

ewert в сообщении #270913 писал(а):

(наверное, всё-таки $C^*/U$, а не $U/C^*$...)

да, точно.

еще хотелось бы уяснить : правильно ли я понимаю, что описанная факторгруппа $C^*/U$ является множеством модулей всех ненулевых комплексных чисел? если да, тогда кажется все понятно.

[ewert]

естественными представителями элементов той факторгруппы будут, да, всевозможные модули.

[Ven0m104]

Всё таки мне не достает знаний наверное, чтобы построить решение. Как правильно описать фактор-группу, не просто заявляя , что она состоит из модулей?

[bot]

Она не состоит из модулей - она состоит из смежных классов, а в каждом классе есть естественный представитель, положительное число. Все элементы смежного класса имеют одинаковый модуль, равный этому положительному числу.

[Ven0m104]

а что представляют из себя смежные классы в $U$ ?

[ewert]

Не "в", а "из". И не "$U$", а "$C^*$ относительно $U$".

А что такое вообще "смежный класс"?...

[Ven0m104]

ewert в сообщении #271081 писал(а):

Не "в", а "из". И не "$U$", а "$C^*$ относительно $U$".

А что такое вообще "смежный класс"?...

подгруппа, на которую подействовали элементом из группы, так ведь?
$gH=\{gh|h \in H\}$

[Ven0m104]

о нет, класс смежности конечно не является подгруппой. Совсем запутался, видимо. Вобщем с задачей я разобрался более или менее.