Поверхностный интеграл II рода и параметризация сферы

[alstein]

Здравствуйте. Возникла проблема при взятии такого интеграла (вообще говоря №4362 из задачника Б.П. Демидовича):

$$ \iint\limits_{S} xdydz + y dzdx + z dxdy, \text{где $S$ --- внешняя сторона сферы $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$.} $$

Беру стандартную параметризацию сферы:
\left\{ \begin{array}{l} x = a sin {\theta} cos {\varphi} \\ y = a sin {\theta} sin {\varphi} \\ z = a cos {\theta} \\ \theta \in \left[ - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \quad \varphi \in [0, 2\pi]. \end{array} \right.
Выписываю матрицу Якоби:
\left( \begin{array}{cc} a cos {\theta} cos {\varphi} & -a sin {\theta} sin {\varphi}\\ a cos {\theta} sin {\varphi} & a sin {\theta} cos {\varphi} \\ -a sin {\theta} & 0 \end{array} \right)
Отсюда «дифференциалы»:
\begin{array}{l} dydz = a^2 sin^2{\theta} cos{\varphi} d\theta d\varphi\\ dzdx = a^2 sin^2 {\theta} sin {\varphi} d\theta d\varphi \\ dxdy = a^2 cos {\theta} sin {\theta} d\theta d\varphi \end{array}
Если подставить то:
a^3 \iint\limits_{S}\left( sin^3 {\theta} cos^2 {\varphi} + \sin^3 {\theta} sin^2 {\varphi} + cos^2 {\theta} sin {\theta}\right)d \theta d \varphi = a^3 \int\limits_{0}^{2 \pi} d\varphi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\phantom{-}\frac{\pi}{2}}\left( sin^3{\theta} + cos^2{\theta}sin{\theta}\right)d\theta = 2 \pi a^3 \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\phantom{-}\frac{\pi}{2}} sin \theta d\theta = -2 \pi a^3 cos \theta \mid\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\phantom{-}\frac{\pi}{2}} = 0 \neq 4 \pi a^3 \text{ (как в ответе).}
Однако, если взять такую параметризацию
\left\{ \begin{array}{l} x = a cos {\theta} cos {\varphi} \\ y = a cos {\theta} sin {\varphi} \\ z = a sin {\theta}\\ \theta \in \left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \quad \varphi \in [0, 2\pi], \end{array} \right.
то все хорошо. Правда непонятно, каким образом она получилась.

[Gafield]

Эта задача на формулу Гаусса-Остроградского.

[ewert]

А если нет, а надо именно в лоб, то гораздо проще подставлять $z=\pm\sqrt{a^2-x^2-y^2}$. И уж потом, после разгребания всех завалов, связанных с поверхностностью, можно при желании переходить к полярным координатам.

Но тут такого желания возникать не должно -- нормальная-то составляющая поля во всех точках сферы одинакова... Так что лучше вообще ничего не считать, а сразу написать ответ.

[alstein]

Решить надо напрямую, без формулы Гаусса-Остроградского. Никаких проблем-то собственно нет, кроме той, что при стандартной параметризации интеграл в ноль уходит. Если взять вторую, что будет то же самое, но в конце интеграл от cos{\theta}d\theta, что и даст $4 \pi a^3$.

[ewert]

alstein в сообщении #270909 писал(а):

при стандартной параметризации интеграл в ноль уходит.

С какой вдруг стати? Вы не забыли часом, что на нижней половинке вектор нормали в другую сторону направлен?...

[alstein]

Всем спасибо. У себя нашел ошибку в параметризации, $\theta \in [0, \pi]\text{, а не } \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$.