Потенциал в центре проводящего шара

[Proghat]

Проводящий шар радиуса $R$ имеет положительный заряд $+q$. Чему равен потенциал в центре шара, если на расстоянии $2R$ от центра шара поместить точечный отрицательный заряд $-2q$.


Потенциал в центре шара равен потенциалу на поверхности шара (иначе возникал бы ток?) и равен $\phi_1=k\frac{q}{R}$.
Как найти потенциал на поверхности шара, если рядом расположен заряд?

[meduza]

Proghat в сообщении #265026 писал(а):

Потенциал в центре шара равен потенциалу на поверхности шара (иначе возникал бы ток?)

Да.

Proghat в сообщении #265026 писал(а):

Как найти потенциал на поверхности шара, если рядом расположен заряд?

Почти также. Но поскольку во всех точках внутри шара потенциал будет одинаковый, то для простоты лучше рассматривать его не относительно поверхности, а относительно центра (разницы нет). Потенциал от второго заряда будет $-k \dfrac q R + \varphi'$, где $\varphi'$ -- потенциал, созданный индуцированным зарядом на поверхности. Но раз мы рассматриваем центр шара, то чему будет равен $\varphi'$?

[Proghat]

meduza в сообщении #265041 писал(а):

$\varphi'$ -- потенциал, созданный индуцированным зарядом на поверхности

Я не понимаю значения "индуцированным зарядом на поверхности". Точечный заряд $-2q$ не сможет же индуцировать заряд на данном шарике (т. к. шарик не заземлен и некуда деваться "избыточным" электронам)? (Но он вызовет перераспределение зарядов?) Имеется ввиду тот заряд который по условию находится на поверхности шарика ($+q$)? Если да, то $\varphi' = k \dfrac{q}{R}$

[meduza]

Proghat в сообщении #265058 писал(а):

Я не понимаю значения "индуцированным зарядом на поверхности"

Ой, пардон, я не в курсе, сейчас объясняют в школе как ведёт себя проводник в электростатическом поле? Хотя тут ничего сложного нет, "на пальцах": внешний заряд $-2q$ создаёт эл. поле, в рез-те электроны шара будут отталкиваться от него и одна сторона шара (та, которая ближе к внешнему заряду) зарядится положительно, другая -- отрицательно. Но из соображений симметрии в центре шара всё сократится и $\varphi'=0$.

[osa]

Цитата:

Но из соображений симметрии в центре шара всё сократится

Мне кажется Вы забываете при этом, что сам шар тоже заряжен.

[meduza]

osa в сообщении #265189 писал(а):

Мне кажется Вы забываете при этом, что сам шар тоже заряжен.

Не забываю. Потенциал от равномерно распределённого заряда $+q$ на поверхности находится легко. Я отдельно рассматривал потенциал от "внешнего" заряда $-2q$.

[ewert]

Формально так. Потенциал на поверхности шара будет нулевым, если засадить внутрь этого шарика фиктивный точечный заряд противоположного знака методом отражений. Но тогда полный заряд на поверхности будет равен именно величине этого фиктивного заряда. Если же поверхностный заряд другой -- надо поместить в центр шарика точечный заряд недостающей величины; сумма полей от этих трёх зарядов и даст правильное поле на поверхности.

Фактически же в этой задаче числа "случайно" такие, что никакого дополнительного заряда в центре не нужно, и потенциал на поверхности равен нулю.

[Proghat]

meduza в сообщении #265069 писал(а):

Ой, пардон, я не в курсе, сейчас объясняют в школе как ведёт себя проводник в электростатическом поле? Хотя тут ничего сложного нет, "на пальцах": внешний заряд создаёт эл. поле, в рез-те электроны шара будут отталкиваться от него и одна сторона шара (та, которая ближе к внешнему заряду) зарядится положительно, другая -- отрицательно.

Объясняют. Именно это я и мел ввиду под "перераспределением заряда".

meduza в сообщении #265069 писал(а):

Но из соображений симметрии в центре шара всё сократится

Почему? Ведь даже после того, как разные стороны шара будут заряжены по разному, суммарный заряд все равно останется $+q$.

Можно немного сначала?
Потенциал на поверхности шара будет равен потенциалу в центре шара.
Потенциал в центре шара - сумма потенциалов, создаваемых зарядом шара ($+q$) и точечным зарядом $-2q$.
В данном положении шара и точечного заряда, заряд $+q$ на шаре будет расположен не равномерно.
Потенциал, создаваемый зарядом шара в центре шара равен $\varphi_1 = k \dfrac{q}{R}$ (даже если заряд шарика расположен неравномерно на поверхности).

Дальше нужно найти потенциал создаваемый точечным зарядом в центре шара.

meduza в сообщении #265041 писал(а):

Потенциал от второго заряда будет $-k \dfrac{q}{R} + \varphi'$, где $\varphi'$ -- потенциал, созданный индуцированным зарядом на поверхности. Но раз мы рассматриваем центр шара, то чему будет равен $\varphi'$?

$-k \dfrac{q}{R}$ - потенциал, создаваемый точечным зарядом $-2q$ на расстоянии $2R$.
Точечный заряд $-2q$ ведь не индуцирует заряд на поверхности? Он только заставляет электроны "разбежаться" по поверхности шара.

[meduza]

Proghat в сообщении #265270 писал(а):

Потенциал на поверхности шара будет равен потенциалу в центре шара.
Потенциал в центре шара - сумма потенциалов, создаваемых зарядом шара ($+q$) и точечным зарядом $-2q$.
В данном положении шара и точечного заряда, заряд $+q$ на шаре будет расположен не равномерно.
Потенциал, создаваемый зарядом шара в центре шара равен $\varphi_1 = k \dfrac{q}{R}$ (даже если заряд шарика расположен неравномерно на поверхности).

Да.

Proghat в сообщении #265270 писал(а):

Дальше нужно найти потенциал создаваемый точечным зарядом в центре шара.

Про это я написал выше, $\varphi_2=-k \dfrac{q}{R}=-\varphi_1$, т. е. в сумме в центре шара потенциал будет 0.

[Proghat]

Извиняюсь. Я отредактировал свое сообщение после Вашего ответа.

meduza в сообщении #265272 писал(а):

Про это я написал выше, $\varphi_2=-k \dfrac{q}{R}=-\varphi_1$, т. е. в сумме в центре шара потенциал будет 0.

Т. е. потенциал, создаваемый точечным зарядом в центре шара будет такой же как если бы не было шара, а был только точка в которой мы ищем потенциал?

[meduza]

Proghat в сообщении #265270 писал(а):

Точечный заряд $-2q$ ведь не индуцирует заряд на поверхности? Он только заставляет электроны "разбежаться" по поверхности шара.

Всё же заряды он индуцирует, просто кол-во индуцированных положительных и отрицательных зарядов будет равно и суммарный их заряд на поверхности будет 0.

Proghat в сообщении #265273 писал(а):

Т. е. потенциал, создаваемый точечным зарядом в центре шара будет такой же как если бы не было шара, а был только точка в которой мы ищем потенциал?

Да.

[ewert]

meduza в сообщении #265274 писал(а):

Всё же заряды он индуцирует, просто кол-во индуцированных положительных и отрицательных зарядов будет равно и суммарный их заряд на поверхности будет 0.

и с какой стати, между кстати?...

(ведь суммарный-то заряд на поверхности нулю всё же не равен, вообще говоря, как ни считай)

[meduza]

ewert
Вообще алгебраическая сумма зарядов на поверхности равна нулю не будет, она как была $+q$ изначально, так и останется. Я рассматривал отдельно индуцированные заряды внешним зарядом $-2q$: сторона шара со стороны этого заряда зарядится положительно, противоположная сторона -- отрицательно, но алг. сумма индуцированных зарядов будет равна нулю. Внешний заряд лишь перераспределяет заряды на поверхности шара, но не создаёт и не уничтожает их.

[Proghat]

meduza в сообщении #265442 писал(а):

Вообще алгебраическая сумма зарядов на поверхности равна нулю не будет, она как была $+q$ изначально, так и останется. Я рассматривал отдельно индуцированные заряды внешним зарядом $-2q$: сторона шара со стороны этого заряда зарядится положительно, противоположная сторона -- отрицательно, но алг. сумма индуцированных зарядов будет равна нулю. Внешний заряд лишь перераспределяет заряды на поверхности шара, но не создаёт и не уничтожает их.

Вот теперь я понял, что Вы имели ввиду с самого начала - отдельно и независимо друг от друга рассматривать потенциал, создаваемый зарядом шара, и потенциал, создаваемый точечным зарядом и индуцированным им зарядом на поверхности шара (т.е. уже без учета заряда шара).

Большое спасибо за объяснения и ответы!

[Fgolm]

meduza в сообщении #265442 писал(а):

Вот теперь я понял, что Вы имели ввиду с самого начала - отдельно и независимо друг от друга рассматривать потенциал, создаваемый зарядом шара, и потенциал, создаваемый точечным зарядом и индуцированным им зарядом на поверхности шара (т.е. уже без учета заряда шара).

Если Вы найдете распределение индуцирванного заряда, то оно будет включать в себя информацию о первоначальном заряде шара. Поэтому, для расчета поля в любой точке пространства необходимо посчитать поле от этого распределния и прибавить к нему поле свободного заряда (того, котороый находится вне шара).