Центр массы, тройной интеграл, циллиндрические координаты

[slx]

Здравствуйте, помогите пожалуйста с решением.
Вычислить координаты центра масс однородного тела, которое занимает область, ограниченную поверхностями $V:y=\sqrt{x^2+z^2},y=4$

Переход в цилиндрические координаты:
$x=\rho\cos\phi,y=y,z=\rho\sin\phi$

$y=\sqrt{\rho^2\cos^2\phi+\rho^2\sin^2\phi}=\sqrt{\rho^2(\cos^2\phi+\sin^2\phi)}=\sqrt{\rho^2}=rho$

$0\le\phi\le2\pi$
$0\le\rho\le\infty$
$-\infty\le z\le\infty$

$\iiint\limits_{V}ydxdydz=\iiint\limits_{V'}y\rho d\rho d\phi dy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{4}\rho d\rho\int\limits_{\rho}^{4}ydy$

[Sintanial]

$\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x}^{4}ydy\int\limits_{\sqrt{(y^2-x^2)}}^{4}dz$
У меня вроде так получилось, проинтегрировав получим вот такой ответ $256/3-16*\pi$

Эммм но я не уверен =). Давно это было =)

З.ы. Кстати а почему вы не использовали стандартные цилиндрические координаты относительно оси z ? =)

[ИСН]

У Вас, Sintanial, получилось, что расстояние центра масс конуса от дна (в долях его же высоты) выражается косорылой иррациональностью, где лично фигурирует пи. Это не может не вызвать озабоченности.

[Sintanial]

мда вы правы...напортачил =))

[slx]

Так у меня границы правильно расставлены?

Sintanial в сообщении #263907 писал(а):

[math]$\int
З.ы. Кстати а почему вы не использовали стандартные цилиндрические координаты относительно оси z ? =)

Не совсем понял о чем Вы.

[Sintanial]

Ну стандартно цилиндрические координаты записываются так : $x=\rho\cos\phi,y=\rho\sin\phi, z=z$ ... как я понял, вы взяли y=y что бы облегчить себе жизнь =)
.... Щас попробую еще раз с новыми силами проверить границы, и скажу тогда правильно или нет =)

[slx]

Sintanial в сообщении #263979 писал(а):

Ну стандартно цилиндрические координаты записываются так : $x=\rho\cos\phi,y=\rho\sin\phi, z=z$ ... как я понял, вы взяли y=y что бы облегчить себе жизнь =)
.... Щас попробую еще раз с новыми силами проверить границы, и скажу тогда правильно или нет =)

Так точно.
Спасибо.

[Sintanial]

эммм Вроде вы в последнем с границей ошиблись =), там должно быть 0 до $\rho$

Ну для проверки давайте найдем не центр масс а просто объем, то есть за место y поставим единичку
Объем можно посчитать через интеграл и через общую формулу из школы.... $V=\frac 1 3 \pi R^2 H$
В нашем случае H=4 R=4 => получаем $V=\frac {64} 3 \pi$
Теперь найдем объем через интеграл с границей которой я сказал

$\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{4}\rho d\rho\int\limits_{0}^{\rho}dy=\int\limits_{0}^{4}2\pi\rho^2d\rho=\frac {2\pi4^3}{3}$
И так и так Объемы сходятся, значит моя граница верная =)
.....так что измените вашу границу на ту которая у меня и находите центр масс

[slx]

$Y_c=\frac{\iiint\limits_{V}ydxdydz}{\iiint\limits_{V}dxdydz}$
$\iiint\limits_{V}dxdydz$ у меня с Вашим ответом сошлось -- $\frac{128\pi}{3}$
$\iiint\limits_{V}ydxdydz=\iiint\limits_{V'}yd\phi\rho d\rho dy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{4}\rho d\rho\int\limits_{0}^{\rho}ydy=...=64\pi$
Тогда $Y_c=\frac{64*3*\pi}{128\pi}=\frac{3}{2}$, но в ответе он равняется 3

[Sintanial]

Хм странно =)...щас подумаю

....Боюсь что я был не прав. Все таки вы границу поставили верно. Че то я вообще не внимательный сегодня....извините
Если проинтегрировать с вашими границами то все получится.....еще раз прошу прощения что запутал =)

[slx]

Да бросьте, главное что правильно решили

[Sintanial]

Кстати если интересно можно было по другому ответ получить =)... из википедии:
Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
то есть $\frac 1 4 H = 1 => H-1=3$-ц.м. =) ну это так для общего развития =)