двумерное нормальное распределение.

[ИСН]

Честно говоря, я перестал понимать, что нужно сделать. Что дано? В чём задача?

[--mS--]

Neytrall в сообщении #262030 писал(а):

и это вся помощь?

В такой постановке задачи - вся. Поскольку выразить $\mathsf P(X-Y > 3)$ через распределения $X$ и $Y$ в отдельности и их коэффициент корреляции невозможно. Другое дело, если у величин $X, Y$ совместное распределение нормально. Тогда распределение $X-Y$ также нормально, и параметры этого распределения по свойствам математического ожидания и дисперсии выражаются через математические ожидания и дисперсии $X$ и $Y$ в отдельности и через их коэффициент корреляции. Этим и следует воспользоваться.

[Neytrall]

--mS--
ИСН
$X$ и $Y$ имеют нормальное распределение.
математического ожидания $X-Y$ выходит $\mu_x - \mu_y$
А вот дисперсия содержит $Cov(X,Y)$...
Я пробывал посчитать дисперсию через $Var(X-Y)=E(X-Y)^2-(E(X-Y))^2$, но я не знаю как там посчитать $E(XY)$...
просто скажите, что я должен сделать, и я сам сделаю. Мне надо понять принцип решения.

[ewert]

$$D(X-Y)=D(X_o-Y_o)=M((X_o-Y_o)^2)=M(X_o^2)+M(Y_o)^2-2M(X_oY_o)\equiv D(X)+D(Y)-2Cov_{XY}$$

(где индекс "о" означает соотв. центрированную случайную величину, чего-то вылетело из головы, как кружочек вверху ставить, а лезьть в Львовского лень)

[Neytrall]

А как посчитать $Cov(X,Y)$???
$Cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)$
$M(X), M(Y)$ - мы знаем.
Как найти $M(XY)$?

[ewert]

никак, если Вам хоть как-то не задано совместное распределение.

Вообще, приведите ну хоть разок точную формулировку задачи.

[--mS--]

Neytrall в сообщении #262059 писал(а):

А как посчитать $Cov(X,Y)$???

$Cov(X,Y)=\rho(X,Y)\cdot \sqrt{\mathsf DX\cdot \mathsf DY}$.

[Neytrall]

ewert
$X\sim N(\mu_x,\sigma^2_x)$
$Y\sim N(\mu_y,\sigma^2_y)$
$P(X-Y>3)=0.1$, $\rho_{xy}>0$

Надо найти $\rho$

[ewert]

Ну, это вроде бы осмысленно. Формально выразите ту вероятность через известные матожидания, дисперсии и $\rho$. Получите уравнение типа: $\Phi$ (это функция стандартного нормального распределения) от некоторой комбинации того самого $\rho$ и известных величин равна чему-то. Отсюда по табличке найдёте значение этой комбинации, а уж из него -- и саму $\rho$.

[ИСН]

Я чего-то пропустил? Совместное распределение двух величин уже можно восстановить по одночастичным распределениям и одной цифре корреляции?

[ewert]

а почему нет? У одночастичных нормальных распределений -- ровно четыре независимых параметра. У двухчастичного -- ровно пять. Как раз корреляции и не хватает.

[Skrejet]

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{\left(1-\rho\right)}}\exp(-\frac{1}{2}\left(1-\rho^2\right){\left[\left\{\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right\}^2+\left\{\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right\}^2-2\rho\left\{\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right\}\left\{\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right\}\right])$$

[--mS--]

ewert в сообщении #262105 писал(а):

а почему нет?

Да по определению. Нормальность частных (или маргинальных, а то какие-то странные термины в ход пошли) не влечёт нормальности совместного распределения, каким бы ни был коэффициент корреляции. Поэтому в такой постановке задача имеет бесконечно много решений (или не имеет решения, что, в общем, то же самое).

-- Вс ноя 15, 2009 13:47:02 --

Skrejet в сообщении #262106 писал(а):

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{\left(1-\rho\right)}}\exp(-\frac{1}{2}\left(1-\rho^2\right){\left[\left\{\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right\}^2+\left\{\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right\}^2-2\rho\left\{\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right\}\left\{\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right\}\right])$$

Берётесь доказать, что если $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$, $\rho(X,Y)=\rho$, то совместная плотность такая, как Вы написали?

[ewert]

--mS-- в сообщении #262183 писал(а):

. Нормальность частных (или маргинальных, а то какие-то странные термины в ход пошли) не влечёт нормальности совместного распределения,

Не влечёт, конечно. Но ведь совместная нормальность явно же предполагалась. Зачем сбивать человека с толку?

[Neytrall]

хм...нам дали это как данность. Нормальность частных влечёт за собой нормальность совместного распределения.