Теорема Ферма для трансцендентных степеней

[Nik_Nikols]

На одном форуме обнаружил такую задачку (формулировку сохраняю):

Цитата:

Рассмотрим множество всемовозможных троек целых чисел (АВС). Сами АВС не равны 0 и 1 и попарно взаимно просты. Множество таких троек, очевидно, счётно. Для каждой из троек подберём степень Х (вещественная), котрая удовлетворяет равенству Ферма. Так как множество вещественных чисел несчётно, то найдётся целая куча Х, которые не подойдут ни к одной из троек.

Вопрос. Можно ли указать какую-нибудь трансцендентную степень, которая не подходит ни к одной из троек?

[shwedka]

Троек счетное множество, а трансцендентных чисел несчетно. Так что на некоторые тройки их не хватит. Так что такие числа есть. И немало. Но указать конструктивно?? Сомневаюсь.

[Nik_Nikols]

Цитата:

Троек счетное множество, а трансцендентных чисел несчетно. Так что на некоторые тройки их не хватит.

Это автор задачи и отмечает.

Но, кажется, он просит явно указать какое-нибудь трансцендентное $n$, для которого уравнение Ферма неразрешимо в целых числах (при естественных ограничениях).

-- Сб ноя 14, 2009 11:55:08 --

Цитата:

Но указать конструктивно?? Сомневаюсь.

Вы имеете в виду конструктивно указать или конструктивно доказать?

[RIP]

Число $\sum_{n=1}^\infty2^{-a_n}$, где $a_1=1$, $a_{n+1}=5^{a_n}$, сгодится (более того, с таким показателем "уравнение Ферма" не имеет положительных алгебраических решений). Т.е. указать такие числа легко, хоть континуум, хоть континуум алгебраически независимых в совокупности. Гораздо интереснее доказать, что какая-нибудь известная константа типа $e$ или $\pi$ тоже сгодится, или доказать, что для некоторой фиксированной тройки $A,B,C$ получается трансцендентное число.

[Nik_Nikols]

RIP в сообщении #261873 писал(а):

Число $\sum_{n=1}^\infty2^{-a_n}$, где $a_1=1$, $a_{n+1}=5^{a_n}$, сгодится (более того, с таким показателем "уравнение Ферма" не имеет положительных алгебраических решений). Т.е. указать такие числа легко, хоть континуум, хоть континуум алгебраически независимых в совокупности. Гораздо интереснее доказать, что какая-нибудь известная константа типа $e$ или $\pi$ тоже сгодится, или доказать, что для некоторой фиксированной тройки $A,B,C$ получается трансцендентное число.

А можно чуть подробнее, почему "число $\sum_{n=1}^\infty2^{-a_n}$, где $a_1=1$, $a_{n+1}=5^{a_n}$, сгодится"? (не пойму сразу,почему )

[RIP]

Потому что оно "слишком хорошо приближается рациональными числами"? Если чуть-чуть подробнее, то:
Обозначим $\alpha=\sum_{n=1}^\infty2^{-a_n}$. Пусть $u$, $v$ --- положительные алгебраические числа, не равные одновременно $1$. Докажем, что число $\xi=u^\alpha+v^\alpha$ трансцендентно. Допустим противное. Пусть $N\in\mathbb N$ достаточно велико. Обозначим , $\alpha_N=\sum_{n=1}^N2^{-a_n}$, $\xi_N=\xi-u^{\alpha_N}-v^{\alpha_N}$. С одной стороны, $\xi_N$ --- алгебраическое число, степень которого не превосходит $\deg\xi\cdot\deg u^{\alpha_N}\cdot\deg v^{\alpha_N}\le\deg\xi\cdot2^{a_N}\deg u\cdot2^{a_N}\deg v=O(4^{a_N})$, все сопряжённые ограничены по модулю числом $\hbox{\vrule width.4pt% \vbox{{\hrule height.4pt}\vskip3pt\hbox{\,$\xi$\,}}\vrule width.4pt}+\hbox{\vrule width.4pt% \vbox{{\hrule height.4pt}\vskip3pt\hbox{\,$u$\,}}\vrule width.4pt}^{\alpha_N}+\hbox{\vrule width.4pt% \vbox{{\hrule height.4pt}\vskip3pt\hbox{\,$v$\,}}\vrule width.4pt}^{\alpha_N}=O(1)$ ($\hbox{\vrule width.4pt% \vbox{{\hrule height.4pt}\vskip3pt\hbox{\,$\cdot$\,}}\vrule width.4pt}$ --- максимум модулей сопряжённых), а знаменатель $\mathop{\mathrm{den}}\xi_N$ не превосходит наименьшего общего знаменателя чисел $\xi$, $u$ и $v$. Следовательно, если $\xi_N\ne0$, то, по неравенству Лиувилля,

$$|\xi_N|\ge\Bigl(\mathop{\mathrm{den}}\xi_N\cdot\hbox{\vrule width.4pt% \vbox{{\hrule height.4pt}\vskip3pt\hbox{\,$\xi_N$\,}}\vrule width.4pt}\Bigr)^{-\deg\xi_N}\ge\exp\bigl(-c4^{a_N}\bigr)$$

с некоторой постоянной $c>0$. С другой стороны,
$\xi_N=(u^\alpha\log u+v^\alpha\log v)2^{-a_{N+1}}-\bigl(u^\alpha(\log u)^2+v^\alpha(\log v)^2\bigr)2^{-2a_{N+1}}+O\bigl(2^{-3a_{N+1}}\bigr)$,
откуда следует, что $0<|\xi_N|\ll2^{-5^{a_N}}$ при достаточно больших $N$, что противоречит доказанному выше. Следовательно, $\xi$ трансцендентно. Аналогично, только проще, доказывается трансцендентность самого числа $\alpha$.
Теперь, если бы уравнение $x^\alpha+y^\alpha=z^\alpha$ имело натуральные решения, то получили бы, что число $1=(x/z)^\alpha+(y/z)^\alpha$ трансцендентно.

[Nik_Nikols]

Спасибо