Вычисление arctg(x). Правильно ли?

[smartchecker]

Дана вот такая формула

$$\arctg x = \frac {\pi}{2}+\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac {1}{(2 \cdot n + 1) \cdot x^{2 \cdot n+1}} = \frac {\pi}{2} - \left( \frac 1 x - \frac {1}{3 \cdot x^3} + \frac {1}{5 \cdot x^5} - \frac {1}{7 \cdot x^7} + \ldots \right), \left| x \right| > 1$$

А задание звучит так:
вывести рекуррентную формулу для расчёта очередного слогаемого.
Правильно ли я понимаю, что это будет
$(-1)^n \frac {1}{(2 \cdot n + 1) \cdot x^{2 \cdot n + 1}}$
Или я неправильно понял задачу?

[EtCetera]

smartchecker
Нет, видимо, не правильно.
Имелось в виду следующее: найти функцию $f(x)$ в формуле $a_{n+1}=f(a_n)$, где $a_n$ - общий член ряда.

[Maslov]

EtCetera в сообщении #260103 писал(а):

найти функцию $f(x)$ в формуле $a_{n+1}=f(a_n)$

Скорее, в формуле $a_{n+1}=f(a_n, a_{n-1},a_{n-2}, ...)$

[smartchecker]

Тогда я вообще запутался
Подскажите что именно требуется?
Нужно каждый последующий член ряда выразить через предыдущий?

[ИСН]

Осмысленный ответ таков: Вы считаете этот ряд на компе, считать надо миллион раз для разных иксов, поэтому надо быстро, поэтому как-то хочется не считать каждую степень с нуля, а сэкономить...
Короткий ответ: да, так.

[EtCetera]

Maslov
Ну, да. В общем виде именно так. Хотя здесь, наверное, все-таки имелся в виду мой вариант (хотя точно утверждать не буду).

smartchecker

smartchecker в сообщении #260105 писал(а):

Нужно каждый последующий член ряда выразить через предыдущий?

Точнее, как подсказывает Maslov, через предыдущие. Но в данном случае действительно проще обойтись только предыдущим.

[Maslov]

EtCetera в сообщении #260109 писал(а):

Хотя здесь, наверное, все-таки имелся в виду мой вариант

Я тоже так думаю. Это я просто к термину прицепился

[Someone]

smartchecker в сообщении #260099 писал(а):

Дана вот такая формула

$$\arctg x = \frac {\pi}{2}+\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac {1}{(2 \cdot n + 1) \cdot x^{2 \cdot n+1}} = \frac {\pi}{2} - \left( \frac 1 x - \frac {1}{3 \cdot x^3} + \frac {1}{5 \cdot x^5} - \frac {1}{7 \cdot x^7} + \ldots \right), \left| x \right| > 1$$

Это верно только при $x>1$. А при $x<-1$ первое слагаемое равно $-\frac{\pi}2$.

[smartchecker]

Что-то я застрял.

[Maslov]

smartchecker в сообщении #260351 писал(а):

Что-то я застрял.

Так разделите $a_{n+1} $ на $a_n$ (у Вас формула общего члена в первом посте написана) и посмотрите, что получится.

[smartchecker]

Я что-то всё-равно не могу найти как выразить следующий через предыдущего.

[Maslov]

$a_n = (-1)^n \frac {1}{(2 \cdot n + 1) \cdot x^{2 \cdot n + 1}}$
$a_{n+1} = ...$
$a_{n+1}/a_n = ...$
$a_{n+1} = a_n \cdot ...$

[smartchecker]

Так?
$a_{n+1}=(-1)^{n-1} \frac {1}{(2 \cdot (n+1)+1) \cdot x^{2 \cdot (n+1)+1}}$