Деление

[daogiauvang]

Сколько номеров имеет 10 цифр (все цифры различны), которое делится на 11111?

[gris]

Вы имеете в виду сколько есть десятизначных чисел, делящихся на 11111 и состоящих из разных цифр?

Типа $1023489765=11111\cdot 92115$
$1023589764=11111\cdot 92124$

Их много

[EtCetera]

Самое маленькое десятизначное число, делящееся на $11111$: $1000001111=90001\cdot 11111$.
Самое большое: $9999999999=900009\cdot 11111$.
Итого таких чисел: $900009-90001+1=810009$.

[Батороев]

EtCetera в сообщении #258186 писал(а):

Самое маленькое десятизначное число, делящееся на $11111$: $1000001111=90001\cdot 11111$.
Самое большое: $9999999999=900009\cdot 11111$.
Итого таких чисел: $900009-90001+1=810009$.

Как мне кажется, здесь необязательно искать конкретные числа:
$\lfloor\frac{(10^{10}-1)-10^9}{11111}\rfloor+1= 810009$

[EtCetera]

По-видимому, ответ действительно можно представить в виде некоторой формулы, но только выглядеть она должна все-таки посложней: $\left\lfloor\dfrac{10^3-1-10^2}{99}\right\rfloor+1=10$, а реально их только 9 (от $189=2\cdot 99$ до $990=10\cdot 99$).

-- Ср ноя 04, 2009 14:11:32 --

Замечательно! Пропустил условие про "все различные цифры". Так что ответ, конечно, гораздо меньше...

[maxal]

Воспользуйтесь тем, что $10^{5+k}\equiv 10^k\pmod{11111}.$

[daogiauvang]

Вы пропустили условие про "все различные цифры". ..
А уважаемый Maxal, как Вы воспользовались $10^{5+k}\equiv 10^k\pmod{11111}.$????

[gris]

Сумма всех 10 цифр равна 45, то есть Ваши числа делятся ещёи на 9, то есть на 99999 или 100000-1.