Дифференциальное уравнение

[gris]

Решаю стандартный дифур
$y''\sin 2x=4y'+4$

Замена $z=y'$
Получаем линейное уравнение
$z'\sin2x-4z=4$

$z=uv$
$u'v\sin2x+u(v'\sin2x-4v)=4$
Ищем частное решение $v'\sin2x-4v=0$
$\dfrac{dv}{v}=\dfrac{4dx}{\sin2x}$
$\ln|v|=\ln\tg^2x$
$v=tg^2x$

подставляем
$u'\tg^2 x\sin 2x=4$

$u'=\dfrac{2\cos x}{sin^3x}$

$u=\dfrac{-4}{\sin^2x}+C$

$z=y'=(\dfrac{-4}{\sin^2x}+C)\tg^2x$

$y=\int(\dfrac{-4}{\sin^2x}+C)\tg^2xdx=\int \dfrac{-4}{\cos^2x}+C\tg^2xdx=-4\tg x+C_1\tg x+C_1x+C_2=$

$=(C_1-4)\tg x+C_1x+C_2$

И вот думаю, нет ли более простого способа это уравнение решить? Ответ какой-то простой получился.

[ShMaxG]

gris в сообщении #256787 писал(а):

Получаем линейное уравнение

Получаем уравнение с разделяющимися переменными...

-- Пт окт 30, 2009 22:07:24 --

Да и замену лучше делать $z=y^{'}+1$

[gris]

ShMaxG, спасибо.
Прозевал...
$z=C_1\tg^2x$
$y'=C_1\tg^2x-1$
$y=C_1(\tg x+x)-x+C_2$
Ошибся там? Всё. Завтра.

[RIP]

gris
Подробно не смотрел, но что заметно сразу, так это то, что квадрат тангенса Вы неправильно интегрируете.

[gris]

Да. При вычислении $u$ ошибся. Надо было разделить на -2, а я умножил.
И интеграл от квадрата тангенса будет тангенс минус икс.
Чего-то вчера замкнуло. Я же два часа пялился на это уравнение и говорил, жаль, что переменные не разделяются...
$y''\sin2x=4y'+4$
замена $z=y'+1$
$z'\sin2x=4z$
$\dfrac{dz}{z}=\dfrac {4dx}{\sin2x}=\dfrac {2dx}{\sin x\:\cos x}=2(\dfrac {\cos xdx}{\sin x}+\dfrac {\sin xdx}{\cos x})$
$\ln|z|=2(\ln|\sin x|-\ln|\cos x|)+C_1=2\ln|\tg x|+C_1=\ln\tg^2x+C_1$
$z=C_1\tg^2x$
$y'+1=C_1\tg^2x$
$y=C_1(\tg x-x)-x+C_2$