Оценка одного выражения

[Karoed]

Необходимо оценить следующее выражение:
$\int_a^b(h'^2 - h^2)dt$
где h = h(t) определена и непрерывно диф-ема на [a;b].
Также h(a) = 0.
Необходимо установить знак и ответить на вопрос постоянен ли он.
Спасибо.

[gris]

через что оценить-то? Мне кажется, можно на примере степенной функции на $[0;1]$ показать, что знак будет любым и значение интеграла любым.

[Karoed]

gris в сообщении #256359 писал(а):

через что оценить-то?

Не понимаю уточнительного вопроса. Необходимо ответить, является ли это выражение знакопостоянным или нет(и найти знак), для t из [a;b].
Если в этом есть какая-то сложность, то пусть a = 0, b = Pi.

[gris]

Так этот интеграл не зависит от $t$.
Пусть $h(t)=t^n$ на $[0;1]$

$\int=\dfrac {n^2}{2n-1}+\dfrac {1}{2n+1}=\dfrac {2n^3+2n^2+2n-1}{4n^2-1}$

Или Вы имеете в виду знак подынтегрального выражения?

[Karoed]

для $h(t) = t^n$ на [0;b]
$\int = b^{2n} *(n^2/((2n-1)b) - b/(2n+1))$

-- Чт окт 29, 2009 19:35:30 --

Нет нужно оценить интеграл. Т.е либо подобрать такие h и получить разные знаки, что видимо и было здесь проделано, либо формально показать что для любых h знак будет постоянен.

[gris]

Ну у "моего" интеграла как функции $n$ разрыв при $n=0,5$ Слева минус справа плюс $\infty$.
Так что
Нужны ещё какие-то условия на функцию

[Karoed]

gris в сообщении #256390 писал(а):

Ну у "моего" интеграла как функции $n$ разрыв при $n=0,5$ Слева минус справа плюс $\infty$.
Так что
Нужны ещё какие-то условия на функцию

Думаю в этом нет необходимости. Ваша идея со степенной функцией позволила лишь выбрать такие $h1 = t^{-100}$ и $h2 = t^{100}$, такие что знак интеграла для h1 - меньше 0, знак интеграла для h2 - больше 0. Этого достаточно чтобы сказать, что интеграл знакопеременен.

[gris]

С отрицательными степенями осторожнее. Там разрыв в нуле. И условие равенства нулю не выполняется. А вот пошевелить показатель у $\sqrt t$ самый раз.

[Karoed]

Karoed в сообщении #256418 писал(а):

gris в сообщении #256390 писал(а):

Ну у "моего" интеграла как функции $n$ разрыв при $n=0,5$ Слева минус справа плюс $\infty$.
Так что
Нужны ещё какие-то условия на функцию

Думаю в этом нет необходимости. Ваша идея со степенной функцией позволила лишь выбрать такие $h1 = t^{-100}$ и $h2 = t^{100}$, такие что знак интеграла для h1 - меньше 0, знак интеграла для h2 - больше 0. Этого достаточно чтобы сказать, что интеграл знакопеременен.

Опс, h = t^{-100} не подходит, она не определена в 0.

[ewert]

Да возьмите попросту $h(t)=t-a$. Поначалу тот интеграл будет, конечно, положительным, но потом -- при достаточно больших $(b-a)$ -- никак не сможет не стать отрицательным...

[Karoed]

ewert в сообщении #256441 писал(а):

Да возьмите попросту $h(t)=t-a$. Поначалу тот интеграл будет, конечно, положительным, но потом -- при достаточно больших $(b-a)$ -- никак не сможет не стать отрицательным...

Извиняюсь, не уточнил a,b - это параметры, в моей настоящей задаче они фиксированы и a = 0, b = Pi/4

-- Чт окт 29, 2009 20:55:01 --

gris в сообщении #256371 писал(а):

Так этот интеграл не зависит от $t$.
Пусть $h(t)=t^n$ на $[0;1]$

$\int=\dfrac {n^2}{2n-1}+\dfrac {1}{2n+1}=\dfrac {2n^3+2n^2+2n-1}{4n^2-1}$

Или Вы имеете в виду знак подынтегрального выражения?

Здесь ошибка, должно быть так:
$\int=\dfrac {n^2}{2n-1}-\dfrac {1}{2n+1}=\dfrac {2n^3+2n^2-2n+1}{4n^2-1}$

[gris]

Без разницы. $x^{0.49}$ и $x^{0.51}$

Упс. Там же ещё и непрерывная дифференцируемость...

[Gafield]

Можно продолжить функцию нечетно и разложить в ряд по синусам.

[RIP]

Karoed в сообщении #256444 писал(а):

Извиняюсь, не уточнил a,b - это параметры, в моей настоящей задаче они фиксированы и a = 0, b = Pi/4

Тогда интеграл всегда положительный, кроме случая $h(t)=0$, что следует из тождества
$\int_0^{\pi/4}(h'(t)^2-h(t)^2)\,dt=\int_0^{\pi/4}\bigl(h'(t)+h(t)x(t)\bigr)^2dt$
при подходящем выборе $x(t)$, которую предлагаю Вам подобрать самостоятельно.
Аналогично при $0<b-a<\pi/2$. Если $b-a>\pi/2$, то интеграл может быть как положительным, так и отрицательным.

[mihiv]

[/quote]Тогда интеграл всегда положительный, кроме случая $h(t)=0$, что следует из тождества
$\int_0^{\pi/4}(h'(t)^2-h(t)^2)\,dt=\int_0^{\pi/4}\bigl(h'(t)+h(t)x(t)\bigr)^2dt$
при подходящем выборе $x(t)$, которую предлагаю Вам подобрать самостоятельно.[/quote].
Функцию $x(t)$ удается подобрать не всегда, так если $h(t)=\cos(4t)$, то при $t=\dfrac{\pi}8$ подынтегральное выражение отрицательно.

-- Пт окт 30, 2009 13:10:26 --

mihiv в сообщении #256580 писал(а):

Тогда интеграл всегда положительный, кроме случая $h(t)=0$, что следует из тождества
$\int_0^{\pi/4}(h'(t)^2-h(t)^2)\,dt=\int_0^{\pi/4}\bigl(h'(t)+h(t)x(t)\bigr)^2dt$
при подходящем выборе $x(t)$, которую предлагаю Вам подобрать самостоятельно.[/quote].
Функцию $x(t)$ удается подобрать не всегда, так если $h(t)=\sin(4t)$, то при $t=\dfrac{\pi}8$ подынтегральное выражение отрицательно.[/quote]