признак Лейбница

[skippy58]

Пожалуйста, помогите разобраться в задаче
Любой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, сходится, а его общий член стремится к нулю. Неверно, что для любого ряда из стремления к нулю его общего члена следует его сходимость. Следовательно, существует сходящийся ряд, не удовлетворяющий условиям признака Лейбница.

[ewert]

skippy58 в сообщении #254815 писал(а):

Неверно, что для любого ряда из стремления к нулю его общего члена следует его сходимость. Следовательно, существует сходящийся ряд, не удовлетворяющий условиям признака Лейбница.

Это, между прочим, неправильная логика. Из того, что необходимое условие сходимости не является достаточным -- вовсе не следует, что не являются необходимыми условия (существенно более конкретные) признака Лейбница.

[vitalyhz]

Мне не совсем ясна постановка задачи. Действительно, существуют сходящиеся ряды, для которых условия признака Лейбница не выполняются. Например, ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{{3^n}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)} $. Уточните, пожалуйста, в чём состоит Ваш вопрос.

[Nurgali]

vitalyhz в сообщении #254859 писал(а):

Мне не совсем ясна постановка задачи. Действительно, существуют сходящиеся ряды, для которых условия признака Лейбница не выполняются. Например, ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{{3^n}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)} $. Уточните, пожалуйста, в чём состоит Ваш вопрос.

Вроде данный ряд не знакочередующийся. Правильно ли
1) если не выполняется первое условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится;
2) если не выполняется второе условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости).

[ewert]

Nurgali в сообщении #254916 писал(а):

1) если не выполняется первое условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится;
2) если не выполняется второе условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости).

На эти вопросы Вам никто не ответит. Ибо неизвестно, какое именно условие Вы считаете первым, а какое -- вторым.

(хотя, впрочем, с уверенностью можно утверждать, что как минимум одно из этих утверждений -- неверно)

[RIP]

Nurgali в сообщении #254916 писал(а):

1) если не выполняется первое условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится;

Первое условие --- это монотонность? Тогда неправильно, конечно. $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$, например.

[vitalyhz]

Ряд знакочередующийся:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{9} - \frac{1}{4} + \frac{1}{{27}} - \frac{1}{8} + ...$

Таким образом, первое утверждение неверно. Второе, вроде, верно.

[Nurgali]

RIP в сообщении #254922 писал(а):

Nurgali в сообщении #254916 писал(а):

1) если не выполняется первое условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится;

Первое условие --- это монотонность? Тогда неправильно, конечно. $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$, например.

Да, монотонность. С первым разобрался.
А как на счет второго утверждения?

-- Вс окт 25, 2009 23:09:36 --

[RIP]

Nurgali в сообщении #254932 писал(а):

А как на счет второго утверждения?

Да Вы же сами на него ответили.

[Nurgali]

Разобрался! Спасибо всем!

[skippy58]

Спасибо за помощь, сегодня уточню задание.

[antbez]

RIP в сообщении #254922 писал(а):

Nurgali в сообщении #254916 писал(а):

1) если не выполняется первое условие признака Лейбница, то знакочередующийся ряд расходится;

Первое условие --- это монотонность? Тогда неправильно, конечно. $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$, например.

А разве в признаке Лейбница не исследуются те знакочередующиеся ряды, которые можно записать в виде $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$, где $a_n$- знакопостоянный ряд?

[skippy58]

Извините, я уточнил задание, и оказалось, что надо проверить правильность рассуждения в логике предикатов.

[gris]

МарьВанна, я доказал теорему Ферма, как вы задавали.
Какой ты бестолковый, Саша! Я просила просклонять: Теорема Ферма, Теоремы Ферма, Теорему Ферма... Двойка. А это - выкинь.

[Maslov]

skippy58 в сообщении #256036 писал(а):

надо проверить правильность рассуждения в логике предикатов

Ну а в логике предикатов рассуждение неправильное