Помогите, пожалуйста. надо исследовать на сходимость ряд.

[Imbalance]

\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac {1} {n^{1+\frac {1} {\sqrt{ln\n}}}}$

[ewert]

Imbalance в сообщении #254395 писал(а):

$a_n = \frac {1} {n^{1+\sqrt[-0,5]{ln\n}}}$

Интегральный признак и потом замена переменных: ${dn\over n}=d\,\ln n$.

---------------------------------------------------------
(и кому могла прийти в голову такая дурацкая запись -- дробный да ещё и отрицательный показатель корня?...)

[Imbalance]

я плохо разобрался как формулы здесь писать, щас уже исправил=))

[ewert]

ну теперь делайте замену

[Imbalance]

-- Сб окт 24, 2009 16:52:13 --

ewert в сообщении #254401 писал(а):

ну теперь делайте замену

получается, что сходится, т.к. интеграл сходится к
$\sqrt {ln2} + 1$
правильно это???

[ewert]

Imbalance в сообщении #254414 писал(а):

получается, что сходится, т.к. интеграл сходится к
$\sqrt {ln2} + 1$
правильно это???

Нет, явно не к этому. Правда, это не имеет значения -- к чему конкретно сходится интеграл, лишь бы сходился.

Вы бы на всякий случай привели свои выкладки. В таких ведь задачах важен не столько сам результат, сколько то, как он был получен.

[Imbalance]

$\int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {d\n} {n^{1+\frac {1} {\sqrt{ln\n}}}} = \int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {d\ln\n} {n^{\frac {1} {\sqrt{ln\n}}}} = \int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {d\ln\n} {e^{\sqrt{ln\n}}} = \int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {1} {e^{t}} dt^{2} = -2(t({\infty})+1)e^{-t({\infty})} + 2({t({2})+1})e^{-t({2})}= -2({{\sqrt{\ln\({\infty}}}+1})e^{-\sqrt{\ln\({\infty}}} + 2({{\sqrt{\ln\({2}}}+1})e^{-\sqrt{\ln\({2}}}$

[ewert]

Пока что кошмар. Понатыкайте фигурных скобочек, куда положено.

[Imbalance]

щас, получше разберусь.......

[ewert]

Всё равно безобразие. Хотя идея правильная. А самое главное -- никому не интересно, чему равен этот интеграл, важна лишь его сходимость.

[Imbalance]

-- Сб окт 24, 2009 17:52:55 --

Imbalance в сообщении #254429 писал(а):

$\int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {d\n} {n^{1+\frac {1} {\sqrt{ln\n}}}} = \int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {d\ln\n} {n^{\frac {1} {\sqrt{ln\n}}}} = \int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {d\ln\n} {e^{\sqrt{ln\n}}} = \int\limits_{n=2}^{\infty} \frac {1} {e^{t}} dt^{2} = -2(t({\infty})+1)e^{-t({\infty})} + 2({t({2})+1})e^{-t({2})}= -2({{\sqrt{\ln\({\infty}}}+1})e^{-\sqrt{\ln\({\infty}}} + 2({{\sqrt{\ln\({2}}}+1})e^{-\sqrt{\ln\({2}}}$

первое слагаемое ноль, следовательно сходится ко второму, следовательно исходный ряд так же сходится. это правильно??

[ewert]

Строго говоря -- нет. Нельзя использовать символ бесконечности в качестве аргумента или операнда. И не нужно. Надо было просто написать $-2(t+1)e^{-t}\Big|_{\sqrt{\ln2}}^{+\infty}$ и указать, что это не есть бесконечность, поскольку предел на бесконечности есть ноль.

(Да, а в принципе -- конечно, правильно.)

[Imbalance]

Спасибо!!!