Интегрирование по частям.

[pavshok]

Доброго времени суток.
Зависла на интегрировании вот этого чуда:
\overset{2}{\underset{-2}{\int}}x^{2}\cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx

Сначала я подумала про интегрирование по частям, но наткнулась на полное непонимание - чего делать со степенью.
В справочнике нашла формулу
\int x^{n}e^{ax}dx=\frac{x^{n}e^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}dx
И терзают смутные сомнения, что наличие степени у степени, делают данную формулу неприменимой.

Наверное можно решить через замену переменных, но плохо себе представляю как это сделать.

Заранее спасибо за помощь.

[Хорхе]

Сводится к стандартной нормальной функции распределения действительно частями: $u=x, v'=xe^{-x^2/2}$, в элементарных функциях не выражается.

[Circiter]

2pavshok
Если при вычислении значения этого интеграла допустима некоторая погрешность, то можно воспользоваться разложением подинтегрального выражения в ряд. Начать стоит с того, что

$$\exp{\ -\frac{x^2}{2}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{2^k k!}.$$

После умножения на $x^2$ с последующим интегрированием должно получиться что-то вроде знакопеременного ряда с общим членом $(-1)^n x^{2(n+1)}/(2^{n+1}(n+1)!)$. Оцениваем сходимость, погрешность, обрываем ряд на некотором слагаемом, вычисляем в точках -2 и 2, находим приближенное значение исходного интеграла по Ньютону-Лейбницу.

Интересно, можно так делать?

Upd. Подправил кое-какие ошибки.

[ewert]

Circiter в сообщении #252734 писал(а):

$$exp{\ -\frac{x^2}{2}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{ki}}{2^k k!}.$$

После интегрирования должно получиться что-то вроде знакопеременного ряда с общим членом $(-1)^n x^{4n+1}/(2^n(4n+1)n!)$. Оцениваем сходимость, погрешность, обрываем ряд на некотором слагаемом, вычиляем в точках -2 и 2, находим приближенное значение исходного интеграла по Ньютону-Лейбницу.

Интересно, можно так делать?

Можно, но для начала стоит исправить как минимум три ошибки.

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Можно, но для начала стоит исправить как минимум три ошибки.

Ok. В разложении для $\exp{(-x^2/2)}$ показатель степени $x$ равен $2k$. Потом я этот ряд умножил на $x^2$, почленно проинтегрировал и написал, что получилось в результате... Ещё какие ошибки есть?

[ewert]

Circiter в сообщении #252737 писал(а):

Потом я этот ряд умножил на $x^2$,

Ну кто ж так умножает на $x^2$?...

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Ну кто ж так умножает на $x^2$?...

Я постарался выразить суть идеи. Ошибки подправил, но не наплодил ли новых?