Понятие точки и вектора

[Alexey1]

В понятии скалярного поля (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число) используется понятие точки, не вектора и скалярная функция обозначается как $u=f(P)$ где $P$ называется точкой. Вектор задаётся координатами, которые в свою очередь зависят от системы координат, а вот как определятеся точка . В чем разница между точкой и вектором?

[Someone]

Вектором, как правило, называют элемент векторного (линейного) пространства. Хотя мне встречались случаи, когда вектором называли просто упорядоченный набор элементов какого-нибудь множества.

Точкой могут называть вообще что угодно, особенно если множество, которому принадлежит это "что угодно", по прихоти автора сподобилось имени "пространство". В частности, элементы векторного пространства можно спокойно называть точками.

Есть однако ситуации, когда точки и векторы следует различать явным образом. Например, аффинное пространство - это совокупность из множества точек и векторного пространства, причём, каждой упорядоченной паре точек $\langle A,B\rangle$ поставлен в соответствие вектор $\overrightarrow{AB}$ этого векторного пространства; предполагается, что для любых трёх точек $A,B,C$ выполняется равенство $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Здесь точки и векторы явным образом различаются.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #249676 писал(а):

В понятии скалярного поля (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число) используется понятие точки, не вектора и скалярная функция обозначается как $u=f(P)$ где $P$ называется точкой. Вектор задаётся координатами, которые в свою очередь зависят от системы координат, а вот как определятеся точка . В чем разница между точкой и вектором?

В данном конкретном случае -- решительно ни в чём. Точка по определению отождествляется с её радиус-вектором. И кто бы решился запретить это?...

[druggist]

Alexey1 в сообщении #249676 писал(а):

В чем разница между точкой и вектором?

Вектор в общем случае, это пара точек - координаты конца вектора и координаты начала. А точка, это частный случай вектора, начало которого в начале координат, а конец в этой точке.
Хотя... все относительно...Как пел бард, "конец, это чье-то начало"(с)... утверждение, справедливое и в отношении векторов (точнее, правил их сложения )

[ewert]

druggist в сообщении #249945 писал(а):

Вектор в общем случае, это пара точек - координаты конца вектора и координаты начала.

Начнём с того, что это -- типичная ошибка. Вектор -- это не просто пара точек, а (ну допустим) та самая пара, но определённая с точностью до параллельного переноса.

[druggist]

ewert в сообщении #249956 писал(а):

это не просто пара точек,

А я и не говорил, что просто
... Ну хорошо, любая пара точек, координаты которых удовлетворяют условию постоянной длины и (косинусов) углов к осям, это, кажется, называется аналитической геометрией...

[Alexey1]

Спасибо за ответы. Однако, автор пытается показать, что скалярная функция (функция от точки) является инвариантной к смене координат. А что есть функции не являющиеся инвариантными относительно изменения координат? Зачем отдельно рассматривать скалярную функцию?

[Maslov]

Alexey1 в сообщении #249986 писал(а):

А что есть функции не являющиеся инвариантными относительно изменения координат?

Векторная функция не является инвариантной.
Например, пусть температура (скалярная функция) в некоторой точке равна 293 К. Как оси координат не направляй и не двигай, все равно в этой точке температура будет 293К.
Теперь рассмотрим скорость ветра (векторная функция). Пусть ветер северный, и его скорость в данной точке составляет 5 м/с. Если ось x направить с севера на юг, x-координата скорости составляет 5, а если с юга на север -5. Т.о., векторная функция в общем случае не инвариантна относительно смены системы координат.

[druggist]

Alexey1 в сообщении #249986 писал(а):

А что есть функции не являющиеся инвариантными относительно изменения координат?

Если понимать под изменением системы координат параллельный перенос, то, вроде бы нет... Действительно, если мы хотим учесть смену ск, мы дожны рассматривать не$ f(x, y)$, а $f(x-x_o, y-y_o)$, где $x_o $ и $y_o$ -координаты точки начала координат в новой ск. При сдвиге ск аргументы функции не изменятся. А вот при вращении ск явно не любая функция координат будет инвариантной...какое условие накладывать, не соображу..., м.б., антисимметричность при замене $x$ на $y$?