Топология

[Trius]

Найти внутренность множества $R$ \ $\sqrt 2$ в топологии $\tau=\{{ U\subset {R}}\}$,где множества $U$ такие, что $R$\$U$ - счётное множество

[DEstroFig]

Да вроде как всё оно и будет....
В нашей топологии содержатся, помимо прочих, множества $B=R \backslash \{\sqrt2,3,4,5,6,7,\ldots\}$ и $D=R \backslash \{\sqrt2, 0,-1,-2,-3, \ldots \}$, оба открытые.
И $B$, и $D$ содержатся в нашем множестве $R \backslash \sqrt2$(назовём его $A$), и любая точка $A$ принадлежит либо $B$, либо $D$, а посему содержится в $A$ вместе с некоторой своей окрестностью, то бишь является внутренней.
Вроде так...

[Виктор Викторов]

Trius в сообщении #249052 писал(а):

Найти внутренность множества $R$ \ $\sqrt 2$ в топологии $\tau=\{{ U\subset {R}}\}$,где множества $U$ такие, что $R$\$U$ - счётное множество

Рассмотрим объединение всех открытых в этой топологии подмножеств множества $R$ \ $\sqrt 2$. (Проще говоря рассмотрим объединение всех подмножеств множества $R$ \ $\sqrt 2$ дополнение до которых счётно). С одной стороны это объединение открыто (как объединение открытых множеств), а с другой – это $R$ \ $\sqrt 2$. Но множество $R$ \ $\sqrt 2$ не может быть открытым (оно не есть дополнение до счётного множества).

И ещё хорошо бы не забыть, определяя топологию, о пустом множестве и множестве $R$.

[Trius]

Виктор Викторов в сообщении #249095 писал(а):

И ещё хорошо бы не забыть, определяя топологию, о пустом множестве и множестве $R$.

ну это само собой разумеется
Теперь не могу разобраться с замыканием и множеством граничных точек множества $A=\{\frac{1}{n},n \in N\}$ в природной топологии на $R$

[Виктор Викторов]

Мне показалось, что Вы ещё не разобрались с Вашим первым примером. Ведь множество $R$ \ {$\sqrt 2$} не является открытым в Вашей топологии (его дополнение до $R$ конечно), но, с другой стороны, оно открыто как объединение открытых множеств. Противоречие.

[Trius]

Виктор Викторов в сообщении #249116 писал(а):

Мне показалось, что Вы ещё не разобрались с Вашим первым примером. Ведь множество $R$ \ $\sqrt 2$ не является открытым в Вашей топологии (его дополнение до $R$ конечно), но, с другой стороны, оно открыто как объединение открытых множеств. Противоречие.

Да я уже понял, что внутренностью будет пустое множество

[Виктор Викторов]

Нет. Речь идёт о противоречии в определении. Объединение двух открытых множеств должно быть открытым. Множество $R$ \ {$\sqrt 2$} легко представить как объединение двух открытых множеств (подумайте как это сделать), и следовательно оно открыто, но Вы же видите, что в Вашей топологии множество $R$ \ {$\sqrt 2$} не может быть открыто. Оно дополнение $R$ только до конечного множества.

[Trius]

Виктор Викторов в сообщении #249120 писал(а):

Нет. Речь идёт о противоречии в определении. Объединение двух открытых множеств должно быть открытым. Множество $R$ \ {$\sqrt 2$} легко представить как объединение двух открытых множеств (подумайте как это сделать)

в метрическом пространстве или стандартной топологии да, а в топологии счётных дополнений нельзя

[Виктор Викторов]

Возьмем множество $R \backslash \{\sqrt2, 1, 3, 5, 7, \ldots\}$ и множество $R \backslash \{\sqrt2, 2, 4, 6, 8, \ldots\}$. Эти множества открыты в Вашей топологии, а их объединение – нет.

[Trius]

Цитата:

Возьмем множество $R \backslash \{\sqrt2, 1, 3, 5, 7, \ldots\}$ и множество $R \backslash \{\sqrt2, 2, 4, 6, 8, \ldots\}$. Эти множества открыты в Вашей топологии, а их объединение – нет.

Их объединением будет $R \backslash \{N\cup \sqrt2\}$, которое является открытым

[Виктор Викторов]

Trius в сообщении #249124 писал(а):

Цитата:

Возьмем множество $R \backslash \{\sqrt2, 1, 3, 5, 7, \ldots\}$ и множество $R \backslash \{\sqrt2, 2, 4, 6, 8, \ldots\}$. Эти множества открыты в Вашей топологии, а их объединение – нет.

Их объединением будет $R \backslash \{N\cup \sqrt2\}$, которое является открытым

Нет. Их объединение $R \backslash \{\sqrt2\}$. Вспомните определение объединения множеств. Ведь, например, элемент 3 принадлежит множеству $R \backslash \{\sqrt2, 2, 4, 6, 8, \ldots\}$ и этого достаточно для того чтобы этот элемент принадлежал объединению.

-- Вс окт 04, 2009 19:19:25 --

Trius в сообщении #249099 писал(а):

Теперь не могу разобраться с замыканием и множеством граничных точек множества $A=\{\frac{1}{n},n \in N\}$ в природной топологии на $R$

Проверьте является ли ноль граничной точкой множества $A=\{\frac{1}{n},n \in N\}$. Остальное очевидно.

[AD]

Виктор Викторов в сообщении #249123 писал(а):

Возьмем множество $R \backslash \{\sqrt2, 1, 3, 5, 7, \ldots\}$ и множество $R \backslash \{\sqrt2, 2, 4, 6, 8, \ldots\}$. Эти множества открыты в Вашей топологии, а их объединение – нет.

Тогда уж возьмем множество $\mathbb{R}$, и заметим, что оно не открыто ...

[Виктор Викторов]

Я просто взял то множество, с которого начал автор темы.

[AD]

Ну а я просто люблю верные утверждения

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #249152 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #249123 писал(а):

Возьмем множество $R \backslash \{\sqrt2, 1, 3, 5, 7, \ldots\}$ и множество $R \backslash \{\sqrt2, 2, 4, 6, 8, \ldots\}$. Эти множества открыты в Вашей топологии, а их объединение – нет.

Тогда уж возьмем множество $\mathbb{R}$, и заметим, что оно не открыто ...

Виктор Викторов в сообщении #249205 писал(а):

Я просто взял то множество, с которого начал автор темы.

AD в сообщении #249206 писал(а):

Ну а я просто люблю верные утверждения

????????????????????