Интеграл Лебега

[Fgolm]

В книге "Курс высшей математики и математической физики" под редакцией А.Н.Тихонова, В.А. Ильина, А.Г.Свешникова во введении Главы 8 Мера и интеграл Лебега приводится фраза:

Цитата:

Основная идея интеграла Лебега, отличающая его от интеграла Римана, заключается в том, что при составлении лебеговской интегральной суммы точки объединяются в отдельные слагаемые не по принципу близости этих точек в области интегрирования (как это было в римановой интегральной сумме), а по принципу близости в этих точках значений интегрируемой функции.

Из общей теории, приведенной ниже, без примеров, я не смог этого увидеть.
Помогите разобраться в этом вопросе. Очень хочу порешать задачки на эту тему.

[ewert]

Fgolm в сообщении #248896 писал(а):

Из общей теории, приведенной ниже, без примеров, я не смог этого увидеть.

А как выглядит интегральная сумма Лебега (в отличие от интегральной суммы Римана)?

[gris]

Я представляю, как они пересчитывают пачку денег
Риман ощипывает от неё по несколько купюр сверху, пересчитывает, записывает, потом складывает.
Лебег сначала пересчитает тысячи, потом пятисотки, потом сотни...
Чего-то музыкой навеяло

[Fgolm]

ewert в сообщении #248902 писал(а):

А как выглядит интегральная сумма Лебега (в отличие от интегральной суммы Римана)?

Разница между интегральными суммами уперается в метрику пространства.
То есть интеграл зависит от того в каком функциональном пространстве его брать.
В частном случае эти суммы совпадают.

[ewert]

Fgolm в сообщении #248946 писал(а):

Разница между интегральными суммами уперается в метрику пространства.То есть интеграл зависит от того в каком функциональном пространстве его брать.В частном случае эти суммы совпадают.

Во-первых, при чём тут метрика? Во-вторых, совпадают значения интегралов, но вовсе не интегральные суммы. В римановом случае на маленькие отрезки разбивается горизонтальная ось, в лебеговом -- наоборот, вертикальная.

[bubu gaga]

post165030.html#p165030