Теорема о среднем.

[AD]

Пусть $F\in C^1[0,1]$, и $F(h)=\overline{\overline{o}}(h^2)$ при $h\to0$.

Можно ли для любого $h<1/2$ найти точку $\theta\in[0,2h]$ такую, что

$$\frac{F(2h)-2F(h)}{h^3}=2\frac{F'(\theta)}{\theta^2}$$

[RIP]

Для первой же взятой функции $F(x)=x^2\bigl(\log(2/x)\bigr)^{-1}$ это не выполняется, например, при $h=1/3$ (правда, выполняется при $h\le e^{-\frac{\log2}{\log4-1}}$).
Думаю, что можно соорудить пример, когда вообще для любого h такое \theta не найдётся, но думать лень.

[AD]

RIP в сообщении #248365 писал(а):

Для первой же взятой функции $F(x)=x^2\bigl(\log(2/x)\bigr)^{-1}$

Н-да, я попробовал $x^3$ и на этом остановился
Подтверждаю, есть такое дело, буду думать дальше.

> но думать лень.
потому я и здесь ...