Множество экстремумов

[xaxa3217]

множество точек строгих локальных экстремумов непрерывной на отрезке функции счетно? у меня ответ "да" на этот вопрос всю сознательную жизнь в голове крутился, теперь ничего не понимаю

[Lyoha]

А с чем возникли проблемы? Точка строгого экстремума имеет окрестность, в которой она единственна.

[ewert]

Lyoha в сообщении #246944 писал(а):

Точка строгого экстремума имеет окрестность, в которой она единственна.

Вовсе нет -- в любой её окрестности может быть сколь угодно много экстремумов, не менее локальных, пусть и меньших (больших).

[Maslov]

ewert в сообщении #246945 писал(а):

Lyoha в сообщении #246944 писал(а):

Точка строгого экстремума имеет окрестность, в которой она единственна.

Вовсе нет -- в любой её окрестности может быть сколь угодно много экстремумов, не менее локальных, пусть и меньших (больших).

Извините, это как?
Мне казалось, что по определению, точка локального экстремума - это такая точка, что существует ее окрестность, в которой значение функции строго больше (меньше), чем значение в точке экстремума.

[ewert]

Maslov в сообщении #246956 писал(а):

Мне казалось, что по определению, точка локального экстремума - это такая точка, что существует ее окрестность, в которой значение функции строго больше (меньше), чем значение в точке экстремума.

Ну да, конечно, но: возьмите, к примеру, график какого-нибудь $x\cdot\sin{1\over x}$ и выгните его маленько вниз.

[Maslov]

ewert в сообщении #246957 писал(а):

возьмите, к примеру, график какого-нибудь $x\cdot\sin{1\over x}$ и выгните его маленько вниз

И какой отрезок непрерывности возьмем?

[ewert]

$[-1;\;1]$, к примеру. (Естественно, ф-я доопр. нулём в нуле.)

[Maslov]

ewert в сообщении #246960 писал(а):

$[-1;\;1]$, к примеру. (Естественно, ф-я доопр. нулём в нуле.)

Согласен, Вы правы

-- Вс сен 27, 2009 21:19:32 --

Нет, все-таки есть сомнения. Что тогда называется точкой строгого экстремума?

[xaxa3217]

Maslov, то что контрпример к словам Lyoha существует довольно очевидно и наглядно, конкретной функции предъявлять не нужно. Важно доказательство указанного сначала утверждения. Интересно, что есть аналогичный факт для мн-ва значений (у меня самих точек) не обязательно строгих экстремумов (чтобы куски прямых не попадали выше - для строгих), но я и здесь не знаю как он доказывается в две строчки (хотелось бы, ведь вещь достаточно ожидаемая). Наткнулся здесь - http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/090 ... 0236v2.pdf (первое предложение).

[ewert]

Maslov в сообщении #246962 писал(а):

Нет, все-таки есть сомнения. Что тогда называется точкой строгого экстремума?

Да какая разница, что как официально называется. Существенно лишь, что в исходном вопросе, очевидно, подразумевались экстремумы именно "строгие".

[Maslov]

ewert в сообщении #246967 писал(а):

Существенно лишь, что в исходном вопросе, очевидно, подразумевались экстремумы именно "строгие".

Это там не только подразумевается, но явно указывается

[AD]

Где-то уже была вроде большушая тема с обсуждением этой задачи. Поищу-ка.

[ewert]

Maslov в сообщении #246968 писал(а):

Это там не только подразумевается, но явно указывается

ну так Ваша формулировка и годится, о чём думать-то

-- Вс сен 27, 2009 21:40:30 --

AD в сообщении #246970 писал(а):

Где-то уже была вроде большушая тема с обсуждением этой задачи.

Нет, там, кажется, было несколько наоборот -- из конечности количеств корней на любом уровне требовалось что-то вывести (запамятовал, что).

[AD]

topic18512.html

-- Вс сен 27, 2009 21:43:54 --

Но тут тоже мало, и упоминание о предыдущем обсуждении.

[xaxa3217]

у меня эти двухстрочные решения с далеко не оригинальным исполнением развивают комплекс неполноценности. решите дураку указанную чуть выше теорему Серпинского, что ли