Первая Всесоюзная студенческая. 1974 год

[Edward_Tur]

Ответ: существует!

[VAL]

Edward_Tur в сообщении #245257 писал(а):

Ответ: существует!

И какие же координаты 6-й вершины, если первые 5 взять такими как у Sonic86?

[Edward_Tur]

На олимпиаде я также пытался доказать, что шестую вершину некуда пристроить...
Жюри строили пример так:
Четирехмерное пространство представляли как сумму двух двумерных подпространств, в каждом из которых выбирали по треугольнику, содержащему начало координат. Шесть вершин треугольников удовлетворяют условию задачи.
Единственный студент, решивший задачу (Алексей Александров) расссказывал, что на практических занятиях по матанализу доказывали, что годятся любые 6 точек кривой $(t, t^2, t^3, t^4)$.

[Edward_Tur]

Здесь http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?j ... n_lang=rus решения всех задач

[Sonic86]

Не понимаю

журнал Успехи математических наук писал(а):

6. Существует ли в 4-хмерном прострнанстве выпуклый многогранник с 6-ю вершинами и 15-ю ребрами?

Решение: Такой многогранник существует...

Для примера возьмем точки

$A_1 = (1,0,0,0), \ A_2 = (-1,1,0,0), \ A_3 = (-1,-1,0,0),$

$A_4 = (0,0,1,0), \ A_5 = (0,0,-1,1), \ A_6 = (0,0,-1,-1).$

Пусть $T=A_1...A_6$ - искомый 6-угольник, значит он выпуклый. Значит, если $\alpha _{1234} = A_1A_2A_3A_4$ задается уравнением $l(x,y,z,u)=0$, то $sign (l(A_5)) = sign (l(A_6))$ (обе точки лежат по одну сторону от плоскости, поскольку $T$ выпуклый). Но $\alpha_{1234}: u=0$, $l_{1234}=u$, $l(A_5)=1, l(A_6)=-1$ $\Rightarrow T$ невыпуклый. И где ошибка ?