Усеченная доска Гальтона

[druggist]

Доска Гальтона моделирует одномерное броуновское движение. Частица стартует из начала координат и с вероятностью 1/2 перескакивает на фиксированное расстояние а влево или вправо.Вероятность нахождения частицы после Т скачков на расстоянии x от начала координат описывается нормальным распределением. Пусть теперь частица стартует из начала координат, но левая(отрицательная) полуось "закрыта", т.е., частица, находясь в начале координат, с вероятностью 1/2 остается на месте или перескакивает вправо (аналог: есть столбик из m частиц размера а, мы с вероятностью 1/2 добавляем или убираем частицу, если окажется столбик нулевой длины, то, разумеется, дальше убрать частицу мы не можем) Интересно, какое будет распределение в этом случае?

[Comanchero]

druggist в сообщении #243633 писал(а):

Доска Гальтона моделирует одномерное броуновское движение.

Доска Гальтона даёт Гауссово распределение $y=Ae^{-bx^2}$...

[druggist]

Я же говорю, нормальное...

[gris]

Если рассматривать дискретное, то есть биномиальное, распределение, то его левая часть симметрично отразится на правую сторону со сдвигом на один шаг $a$ влево и добавится к правой части, как раз туда, где у неё нули.
В предельном случае это будет выглядеть как нуль слева от нуля и удвоенная правая часть нормального распределения справа от нуля.
Интересно рассмотреть движение точки на ограниченной и слева, и справа доске.

[druggist]

gris в сообщении #243783 писал(а):

как нуль слева от нуля и удвоенная правая часть нормального распределения справа от нуля.

Возможно, но пока что-то не очевидно мне с этм отражением... Чтобы изменить механическую аналогию в соответствии с условием, надо в левой половине доски убрать все гвоздики и установить вертикальную отражающую стенку на расстоянии а/2 слева от начала координат, тогда горошины будут падать точно по условию

[gris]

Отражение это не вывод нового распределения, а то, что получается фактически. Это не означает, что частица, которая оказывалась в точке $(-na)$ теперь попадёт в точку $na-1$.
Вероятности перераспределяются и слева и справа, но в итоге получается, что вероятность частицы попасть в точку $(-na)$ в доске без ограничения равна вероятности попасть в точку $(na-1)$ на доске с ограничением. Ну из-за симметрии можно предложить обнуление левой части и копирование правой со сдвигом на шаг влево.
Да посмотрите на примерах в 3,4,5 шагов.
А на ограниченной с двух сторон доске распределение будет очевидно стремиться к равномерному. Это я чего-то не подумал.

[druggist]

gris в сообщении #243821 писал(а):

Да посмотрите на примерах в 3,4,5 шагов.

Да, действительно, вы правы, спасибо, сразу догадаться было затруднительно.

gris в сообщении #243821 писал(а):

А на ограниченной с двух сторон доске распределение будет очевидно стремиться к равномерному.

Но доска в реальности ограничена по высоте, так что будет стационарное распределение с более сглаженным горбиком, чем без ограничения

[druggist]

gris в сообщении #243783 писал(а):

Интересно рассмотреть движение точки на ограниченной и слева, и справа доске.

gris в сообщении #243821 писал(а):

А на ограниченной с двух сторон доске распределение будет очевидно стремиться к равномерному. Это я чего-то не подумал.

А если точка не отражается от концов, а может с вероятностью 1/2 оставаться на границе и с вероятностью 1/2 ее покинуть? Для остальных мест(не на границе) точка с вероятностью 1/2 может скакнуть влево и с вероятностью 1/2 вправо на каждом шаге.