Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[masha pupsic]

какая разница. если в теории доказуемо противоречие, то она некорректна и не важно изначально или через год

[vinfdsc]

masha pupsic в сообщении #239768 писал(а):

какая разница. если в теории доказуемо противоречие, то она некорректна и не важно изначально или через год

Вот и я про то же, а это значит что и x\in R\Longleftrightarrow x \not \in R \ доказывает, что теория некорректна, т.к. и здесь очевидно, что мы приходим к "парадоксу" - т.к. любой x одновременно и должен быть во множестве, и не должен быть в нём.

[masha pupsic]

В Канторовской теории множеств изначально постулировалось, что множества можно порождать достаточно произвольным образом. Рассел показал, что это неправильно. Не пойму что такого волшебного Вы в этом увидели. Вопрос давно закрыт. Дела давно минувших дней, преданья старины глубокой

[rishelie]

Так вы уж не путайте формализм с реальностью, а то так и до дома можно не дойти
Обычно высказывания типа "все те $x$, для которых $x\notin x$" (=все те, которые не бреются сами) в быту имеют естественные дополнительные ограничения, о которых мы забываем ввиду их очевидности (ну, в самом деле, мы же имели ввиду всех, кроме брадобрея, т.е. как раз все множества, кроме этого множества Расселла, а возможно, и кроме других множеств, могущих вызвать противоречие). Формализм же такую забывчивость не прощает - вот вам и результат.
Определение множества Расселла в формализме наивной теории совершенно корректно, раз уж мы считаем за множество любую конструкцию вида $Y=\{x:\;\varphi(x)\}$ (иначе говоря, $x\in Y$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x)$). А вот сама эта теория оказывается некорректной ввиду данного парадокса. Поэтому и возникла необходимость в ZF, в которой никаких парадоксов до сих пор не найдено.

masha pupsic в сообщении #239748 писал(а):

rishelie вы совершенно правы. Не даром покойный Дартаньян говорил мне, что вы самый умный человек во всей Франции.

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #239747 писал(а):

а мне думается, что если отношение $a\in b$ понимать как $b$ бреет $a$, то оба парадокса представляют собой одно и то же с точносью до терминов.

Не согласен. Интуитивно очевидные свойства отношений "брить" и "принадлежать" различны.

[epros]

rishelie в сообщении #239807 писал(а):

Обычно высказывания типа "все те $x$, для которых $x\notin x$" (=все те, которые не бреются сами) в быту имеют естественные дополнительные ограничения, о которых мы забываем ввиду их очевидности

Вовсе нет. Другая формулировка этого парадокса - про библиотеку. Там $x\notin x$ интерпретируется как "книга, не содержащая ссылок на себя". Никаких дополнительных ограничений тут ни явно, ни неявно не подразумевается: говоря "каталог всех книг, не содержащих ссылку на себя", мы под "всех книг" ни в какой форме не подразумевали, что сам этот каталог - не книга.

[rishelie]

Профессор Снэйп в сообщении #239826 писал(а):

Интуитивно очевидные свойства отношений "брить" и "принадлежать" различны.

Интуитивно - да. А формально нет никакой разницы. Как говорил старина Гильберт, можете под точками. прямыми и плоскостями понимать хоть столы, стулья и пивные кружки, лишь бы указанные соотношения между ними выполнялись
Это я к тому, что как наш разговорный язык, так и язык теории множеств есть некое логическое построение, отображаемое символами. Если угодно, можно считать принадлежность моделью для бритья в данном конкретном примере, а не вообще говоря! Модель, как известно, хороша до определенных пределов...

-- Ср сен 02, 2009 12:58:41 --

epros в сообщении #239839 писал(а):

Другая формулировка этого парадокса - про библиотеку. Там $x\notin x$ интерпретируется как "книга, не содержащая ссылок на себя". Никаких дополнительных ограничений тут ни явно, ни неявно не подразумевается: говоря "каталог всех книг, не содержащих ссылку на себя", мы под "всех книг" ни в какой форме не подразумевали, что сам этот каталог - не книга.

Тогда получается, что там заранее должны существовать все возможные книги со всевозможными ссылками на книги?

[epros]

rishelie в сообщении #239842 писал(а):

Тогда получается, что там заранее должны существовать все возможные книги со всевозможными ссылками на книги?

Не-а, про "заранее" ничего не сказано (Вы здесь рассуждаете прямо-таки в конструктивистком ключе - прежде, чем говорить об объекте, намекаете на необходимость сначала сконструировать его из того, что есть "заранее").

[vinfdsc]

rishelie в сообщении #239807 писал(а):

Так вы уж не путайте формализм с реальностью, а то так и до дома можно не дойти
Определение множества Расселла в формализме наивной теории совершенно корректно, раз уж мы считаем за множество любую конструкцию вида $Y=\{x:\;\varphi(x)\}$

Вот это мне и непонятно. А что вопрос давно минувших дней - то этот вопрос решали без меня, а я остался не в курсе. Мне не нобелевка нужна (за математику её не дают) - а понять, в чём парадокс нашли математики.

Насколько я понимаю, ваш подход неправилен, т.к. для доказательства его абсурдности не нужен парадокс Рассела, достаточно привести формулу $Y=\{x:\;x\not\in Y\}$
Эта формула настолько же некорректна как и $Y=\{x:\;x\not\in x\}$, так как последняя при работе с множеством Y как с x даёт следствие, что Y является своим элементом тогда и только тогда, когда Y не является своим элементом. Для чего же тогда потребовался парадокс Рассела, если можно записать любую чушь, а не только парадокс Рассела? Что мешает записать первую формулу, но обязывает признавать корректность формулировки второй (парадокса)?

В данном случае $\varphi(x)$ - функция, которую вычислить невозможно. Таким образом я могу доказать и абсурдность "наивной арифметики". Действительно
$f = \left\{ \begin{array}{l} f_1(x):\;f(x)>0\\ f_2(x):\;f(x)\leqslant0 \end{array} \right.$

Почему последнее - бессмыслица, формула $Y=\{x:\;x\not\in Y\}$ - тоже бессмыслица, а если я пишу парадокс Рассела - то это глубокий парадокс?

[epros]

vinfdsc в сообщении #239850 писал(а):

Что мешает записать первую формулу, но обязывает признавать корректность формулировки второй (парадокса)?

Определения, всё-таки, не должны содержать замкнутого цикла. Т.е. определяемое понятие ($Y$) должно определяться через ранее определённые. Во второй формулировке это соблюдено: формула $x \notin x$ не содержит ссылок на определяемое понятие.

[vinfdsc]

epros в сообщении #239854 писал(а):

Определения, всё-таки, не должны содержать замкнутого цикла. Т.е. определяемое понятие ($Y$) должно определяться через ранее определённые. Во второй формулировке это соблюдено: формула $x \notin x$ не содержит ссылок на определяемое понятие.

Почему не содержит?
По сути у нас есть выражение x\in$Y\Longleftrightarrow x\notin x$, при подстановке в это выражение x=Y явно получаем выражение со самоссылочностью Y\in$Y\Longleftrightarrow Y\notin Y$

Или, под другому, если имеем определение $Y=\{x:\;x\not\in x\}$ то, перебирая все x мы доходим до Y и смотрим
1. Принадлежит ли Y сам себе? Для этого мы идём к формулировке Y, т.е. к формуле $Y=\{x:\;x\not\in x\}$
2. Тут мы должны снова задаться тем же вопросом, так как мы снова, вернувшись в формулировку, подставляем Y в качестве x и так до бесконечности

Т.е. в формуле $Y=\{x:\;x\not\in x\}$ для x=Y невозможно указать истинность или ложность x\not\in x\}$, т.к. сам Y определяется этой формулой и рекурсия (реккурентность) здесь не завершается, так же, как если мы сделаем определение функции в виде $f\(x\)=f\(x+1\) + f\(x+2\),\;f\(0\)=1$ Нам не достаёт информации для того, чтобы определение определило эту функцию. В то же время мы спокойно можем указать $f\(x\)=f\(x-1\) + 1,\;f\(0\)=1$ - и это не будет некорректностью

-- Ср сен 02, 2009 14:43:32 --

В этом смысле хотелось бы ещё немного пояснить смысл вопроса. Возможно это поможет понять мою проблему.

Представим себе некий субъект. У этого субъекта есть список всех множеств, которыми он оперирует (все множества - конечные). Вот он хочет выяснить, какие элементы принадлежат Y. Для начала он добавляет Y в список всех множеств, затем начинает просматривать все множества и, доходя до каждого, определяет, принадлежит ли это множество самому себе. Вот он дошёл до множества Y, он или откладывает его рассмотрение до завершения формирования множества Y, и потом говорит, что Y не принадлежит самому себе (т.е., фактически, требует, явного определения самопринадлежности множества) или заходит в тот самый тупик, когда Y принадлежит себе только тогда, когда не принадлежит себе.
Причём заходит в такой тупик он как раз если мы будем говорить об абстрактном существовании любого множества - т.е. он уже предполагает, что множество определено, но при этом не может определить по определению множества, принадлежит ли оно само себе, из чего, он, вроде бы, должен сделать вывод о некорректности определения множества и, опять же, потребовать доопределения множества в виде указания, принадлежит ли оно само себе или нет.

Т.е. так или иначе неявная самоссылочность определения самого на себя (цикличность, о которой говорили выше и для определения $Y=\{x:\;x\not\in Y\}$, просто здесь она конкретно при подстановке определённого элемента) присутствует, т.к. в определении x не ограничивается ничем и может принимать и Y. Вот здесь мне, грубо говоря, нужно понять, почему вышеприведённая машинная логика неправа (грубо говоря, как она должна мыслить, чтобы прийти к заклюению о некорректности теории [предполагаем, что она может это сделать], а не к заключению о некорректности формулировки). Но, повторюсь, вопрос здесь сугубо математический, к программированию отношения не имеющий

[epros]

vinfdsc в сообщении #239858 писал(а):

epros в сообщении #239854 писал(а):

Определения, всё-таки, не должны содержать замкнутого цикла. Т.е. определяемое понятие ($Y$) должно определяться через ранее определённые. Во второй формулировке это соблюдено: формула $x \notin x$ не содержит ссылок на определяемое понятие.

Почему не содержит?

Потому что справа от знака равенства нет знака $Y$. Формулировка "список ссылок на все книги, не содержащие ссылки на себя" является вполне корректной. Другой вопрос, может ли этот список составлять "книгу".

[vinfdsc]

epros в сообщении #239876 писал(а):

Потому что справа от знака равенства нет знака $Y$. Формулировка "список ссылок на все книги, не содержащие ссылки на себя" является вполне корректной.

почему же?
Давайте разберёмся с этим подробнее

Разложим формулировку $x\in Y\Longleftrightarrow x\notin x$ на две (эквивалентно)
$ Y = \left\{ \begin{array}{l} x\notin x,\;x\neq Y\\ x \notin x,\; x = Y, \end{array} \right. $
Далее, упрощаем
$ Y = \left\{ \begin{array}{l} x\notin x,\;x\neq Y,\\ Y \notin Y. \end{array} \right. $
Очевидно, что множество Y содержится в определении множества Y, т.е. определение реккурентно

[epros]

vinfdsc в сообщении #239880 писал(а):

Давайте разберёмся с этим подробнее

Ни к чему, выше всё сказано подробнее некуда:
Правая часть определения не должна содержать определяемого термина.

vinfdsc в сообщении #239880 писал(а):

Разложим формулировку...

А Ваше разложение этот принцип нарушает.

[vinfdsc]

epros в сообщении #239884 писал(а):

Ни к чему, выше всё сказано подробнее некуда:
Правая часть определения не должна содержать определяемого термина.
А Ваше разложение этот принцип нарушает.

Ну да, нарушает, если для вас это открытие - читайте внимательней, я вообще-то об этом и говорю.
Данное разложение эквивалентно и как раз показывает, что правая часть формулы содержит левую.
Это примерно то же самое, как если бы вы сказали что вот это
$Y = \left\{ \begin{array}{l}\notin x,\;x\notin B\\ \notin x,\; x \in B,\end{array} \right \\ \; Y \in B$
Так вам больше нравится? Я ведь могу использовать некоторое множество B?

-- Ср сен 02, 2009 18:38:02 --

Собственно, если для вас так важен парадокс Рассела, я переформулирую свой вопрос
Почему математики считают, что парадокс Рассела показывает, что нельзя определять множество как совокупность всех объектов, которые обладают неким свойством?
Почему они не считают, что он показывает какое-то другое противоречие?