Связь между корнями f(x), g(x) и h(x)=f(x)+g(x).

[Mitrius_Math]

Заранее прошу прощения, может быть, кому-то данный вопрос покажется глупым. Меня заинтересовало следующее. Даны многочлены $f(x)=ax^4+cx^2+k$, $g(x)=bx^3+dx$ и $h(x)=f(x)+g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+k$; $a, b, c, d, k \in \mathbb{R}$. Есть ли связь (корреляция) между корнями этих многочленов? Для примера я составил многочлен 4-ой степени $x^4+x^3-7x^2-x+6$, его корни таковы: $x_1=-3$, $x_2=-1$, $x_3=1$, $x_4=2$ (корни брал произвольные). Корнями биквадратного трёхчлена $x^4-7x^2+6$ являются числа $\pm1$ и $\pm\sqrt{6}$; неполный кубический многочлен $x^3-x$ имеет три корня: $\pm1$ и $0$. То есть, $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ имеют по два общих корня: $\pm1$. Это случайно или закономерно?

[Бодигрим]

В одну сторону это случайно. Рассматривая $h(x)=f(x)+g(x)$ как функцию и разбирая ее в сумму четной и нечетной функции, получим, что $f(x)$ - ее четная компонента, а $g(x)$ - нечетная. Никакой особой связи ожидать между ними не приходиться: вполне может оказаться, что $f(x)=x^4+1/10$ вообще не имеет действительных корней, $g(x)=x^3$ имеет единственный корень $x=0$, а вот у их суммы два действительных ненулевых корня.

В другую сторону закономерно: очевидно, что общий корень двух многочленов будет также корнем их суммы.

[Mitrius_Math]

Бодигрим в сообщении #239968 писал(а):

В одну сторону это случайно. Рассматривая $h(x)=f(x)+g(x)$ как функцию и разбирая ее в сумму четной и нечетной функции, получим, что $f(x)$ - ее четная компонента, а $g(x)$ - нечетная. Никакой особой связи ожидать между ними не приходиться: вполне может оказаться, что $f(x)=x^4+1/10$ вообще не имеет действительных корней, $g(x)=x^3$ имеет единственный корень $x=0$, а вот у их суммы два действительных ненулевых корня.

Бодигрим, уточню: я имел ввиду случаи, когда $a, b, c, d, k\neq0$. Хотя даже в этом случае может иметь место описанная Вами ситуация.

Бодигрим в сообщении #239968 писал(а):

В другую сторону закономерно: очевидно, что общий корень двух многочленов будет также корнем их суммы.

То есть, имея уравнение 4-ой степени можно попробовать разбить его на биквадратное и неполное кубическое с нулевым свободным членом, найти их корни и таким образом, если повезёт, отыскать хотя бы один корень исходного уравнения?

[Бодигрим]

Mitrius_Math в сообщении #239970 писал(а):

То есть, имея уравнение 4-ой степени можно попробовать разбить его на биквадратный трёхчлен и неполный кубический многочлен, найти их корни и таким образом, если повезёт, отыскать хотя бы один корень исходного уравнения?

Лучше в спортлото играть, вероятность "везения" больше.

[Mitrius_Math]

Бодигрим в сообщении #239973 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #239970 писал(а):

То есть, имея уравнение 4-ой степени можно попробовать разбить его на биквадратный трёхчлен и неполный кубический многочлен, найти их корни и таким образом, если повезёт, отыскать хотя бы один корень исходного уравнения?

Лучше в спортлото играть, вероятность "везения" больше.

Возможно.
А если речь идёт о более высоких степенях многочленов? Пятой, например?

[Бодигрим]

А какая разница? Общий корень двух многочленов всегда будет корнем их суммы, вне зависимости от наличия/отсутствия в том или ином многочлене ненулевого коэффициента при той или иной степени. Вам это неочевидно?

[Mitrius_Math]

Бодигрим в сообщении #239978 писал(а):

А какая разница? Общий корень двух многочленов всегда будет корнем их суммы, вне зависимости от наличия/отсутствия в том или ином многочлене ненулевого коэффициента при той или иной степени. Вам это неочевидно?

Если бы было очевидно, то и вопроса не было.

[Бодигрим]

ОК. Пусть $a$ - общий корень многочленов $f(x)$ и $g(x)$. Тогда по теореме Безу они представимы в виде $f(x)=(x-a)f_1(x)$ и $g(x)=(x-a)g_1(x)$, где $f_1(x), g_1(x)$ - тоже многочлены. Тогда $(f+g)(x)=(x-a)(f_1(x)+g_1(x))$ и ясно, что $(f+g)(a)=0$, т. е. $a$ - корень и суммы многочленов.

[mrbus]

Можно сказать только одно, если f имеет корнем x1, g имеет корнем x2, и на отрезке [x1, x2] функции растут одинаково (обе растут или обе убывают), то у f+g будет корень на этом отрезке. Если обе функции растут по-разному, причём строго монотонно, корня у f+g на этом отрезке точно не будет. Если хотя бы одна из них немонотонна, ничего нельзя сказать.
Бодигрим, тут проще, если при некотором A f(A) = 0 и g(A) = 0, то f(A)+g(A) = 0.

[Mitrius_Math]

Бодигрим в сообщении #239980 писал(а):

ОК. Пусть $a$ - общий корень многочленов $f(x)$ и $g(x)$. Тогда по теореме Безу они представимы в виде $f(x)=(x-a)f_1(x)$ и $g(x)=(x-a)g_1(x)$, где $f_1(x), g_1(x)$ - тоже многочлены. Тогда $(f+g)(x)=(x-a)(f_1(x)+g_1(x))$ и ясно, что $(f+g)(a)=0$, т. е. $a$ - корень и суммы многочленов.

Спасибо, я понял.

[venco]

Бодигрим в сообщении #239980 писал(а):

ОК. Пусть $a$ - общий корень многочленов $f(x)$ и $g(x)$. Тогда по теореме Безу они представимы в виде $f(x)=(x-a)f_1(x)$ и $g(x)=(x-a)g_1(x)$, где $f_1(x), g_1(x)$ - тоже многочлены. Тогда $(f+g)(x)=(x-a)(f_1(x)+g_1(x))$ и ясно, что $(f+g)(a)=0$, т. е. $a$ - корень и суммы многочленов.

А зачем так сложно и только для многочленов? Ведь это свойство есть у любых функций.
$f(a)=0, g(a)=0 \rightarrow (f+g)(a) = f(a)+g(a) = 0$.

[Бодигрим]

venco в сообщении #239983 писал(а):

А зачем так сложно и только для многочленов? Ведь это свойство есть у любых функций.

Да, разумеется. Это я во втором часу ночи уже соображаю тяжело, вот и пишу на автопилоте. Мои извинения. Видимо, мозг решил, что раз факт не очевиден вопрошающему, надо его доказывать не очевидно.