Разве компл. группа О(n,С) сохраняет скалярное произведение?

[Genmich]

До последнего времени считал, что аналогом ортогональной вещественной матричной группы О(n,R), сохраняющей скалярное произведение, является унитарная комплексная матричная группа U(n,C), действующая уже в соответствующем комплексном пространстве и тоже сохраняющая скалярное произведение но теперь уже комплексных n-мерных векторов. Но вот обнаружил в книге "Современные геометрические структуры и поля",2005г, что авторы указанной книги С.П.Новиков,И.А.Тайманов, в параграфе 6.1 под названием "Группы и алгебры Ли" на стр.175, используя условие ортогональности $A^TA=1$ для вещественных матричных групп, применяют его теперь уже к комплексным матричным группам и таким образом определяют ортогональную комплексную матричную группу O(n,C) и при этом на стр.191, в пункте 6 "Комплексные группы Ли", утверждают, что группа O(n,C) тоже сохраняет скалярное произведение в пространстве $C^n$. Как такое может быть? Ведь в комплексном пространстве сохраняет скалярное произведение, по определению, только унитарные группы, удовлетворяющие условию $A^\dag A=1$. В чём здесь тонкости?

[ewert]

Genmich в сообщении #239518 писал(а):

Как такое может быть?

Никак такого не может быть. Но может быть, что они под скалярным произведением понимают сумму без комплексных сопряжений. Которая, конечно, скалярным произведением не является, но для анализа разрешимости систем -- сгодится.

[bot]

Мне кажется, топикстартер неверно пересказывает. Скорее всего речь в книге идёт об ортогональных матрицах, как частном случае унитарных. На это указывает следующий фрагмент:

Genmich в сообщении #239518 писал(а):

на стр.175, используя условие ортогональности для вещественных матричных групп, применяют его теперь уже к комплексным матричным группам

Нельзя ли воспроизвести точную цитату со страницы 175?

[ewert]

bot в сообщении #239553 писал(а):

Мне кажется, топикстартер неверно пересказывает. Скорее всего речь в книге идёт об ортогональных матрицах, как частном случае унитарных.

Нет, иначе $\mathrm O(n,\mathbb C)$ просто совпадало бы с $\mathrm O(n,\mathbb R)$. Кроме того, он явно указывает, что используется именно транспонирование, а не эрмитово сопряжение. В комплексном случае действительно принято выделять группу матриц, сохраняющих именно билинейную форму $\sum_ix_iy_i$ (а не скалярное произведение $\sum_ix_i\overline{y_i}$, как в случае унитарных матриц). А зачем принято -- я не в курсе.

[bot]

ewert в сообщении #239559 писал(а):

bot в сообщении #239553 писал(а):

Мне кажется, топикстартер неверно пересказывает. Скорее всего речь в книге идёт об ортогональных матрицах, как частном случае унитарных.

Нет, иначе $\mathrm O(n,\mathbb C)$ просто совпадало бы с $\mathrm O(n,\mathbb R)$.

Конечно, ну и что? Это я и предположил. Точный дигноз можно поставить при условии точного цитирования. В пересказе возникает множество неувязок. В частности, о каком таком скалярном произведении речь?

[ewert]

Ну, значит, они просто называют форму $\sum_ix_iy_i$ скалярным произведением, вот и всё. Нехорошо, конечно, но -- красиво жить не запретишь. Принято же, например, называть скалярным произведением соответствующую форму в псевдоевклидовом пространстве, хотя никакое оно и не скалярное.

[Genmich]

Да "ewert", вы правы, там действительно в качестве произведения комплексных n-мерных векторов используется билинейная форма $\sum_ix_iy_i$ без эрмитового сопряжения, но авторы почему-то эту форму называют скалярным произведением.

[bot]

Genmich в сообщении #239588 писал(а):

но авторы почему-то эту форму называют скалярным произведением

Что-то сомнительно, чтобы С.П.Новиков и И.А.Тайманов не знали общеизвестной терминологии.
Не могли бы Вы всё-таки привести точную цитату со страницы 175?

[Genmich]

bot в сообщении #239611 писал(а):

Не могли бы Вы всё-таки привести точную цитату со страницы 175?

Сообщите мне свой E-mail и я вышлю вам копию этих страниц, а точнее достаточно стр. 191, а то в этом форуме я не могу к своему сообщению прикрепить какой-либо файл. Или может я не до конца разобрался как это сделать?

[ewert]

Genmich в сообщении #239619 писал(а):

Или может я не до конца разобрался как это сделать?

Нет, прикреплять тут действительно запрещено, можно только загнать его в какое-нибудь потустороннее и общедоступное хранилище, а на него уж и ссылаться.

Genmich в сообщении #239588 писал(а):

, но авторы почему-то эту форму называют скалярным произведением.

Я ж сказал -- красиво жить не запретишь. Да и не одни они такие, это в некоторой моде.

[Genmich]

ewert в сообщении #239698 писал(а):

можно только загнать его в какое-нибудь потустороннее и общедоступное хранилище, а на него уж и ссылаться.

С учётом ваших рекомедаций я уже зарегестрировал e-disk на Email.ru и предлагаю ссылку http://files.mail.ru/JAO6DO для общего просмотра первоисточника, стр.191.

[bot]

ewert в сообщении #239698 писал(а):

Я ж сказал -- красиво жить не запретишь. Да и не одни они такие, это в некоторой моде.

Получил по мылу 191 стр.
Век живи - век удивляйся, прав был ewert. Странная однако манера называть указанную билинейную форму скалярным произведением, коим она не является в пространстве $\mathbb C^n$ - не встречал такого.

[ewert]

У нас есть один сотрудник, с которым мы периодически треплемся. Так вот он время от времени жалуется, что ну не в жилу ему эта эрмитовость. Т.е. он её, конечно, понимает и даже вынужден по необходимости рассказывать, но -- не в жилу. И можно понять, почему: он -- махровый алгебраист, приученный к абстрактным полям, в которых инволюция если и есть, то -- так, сбоку бантик и неинтересна.

Ну я-то -- ровно наоборот, для меня неинтересны абстрактные поля.

[bot]

ewert в сообщении #239808 писал(а):

он -- махровый алгебраист, приученный к абстрактным полям

Забавно, но я тоже махровый алгебраист
Однако мне никогда не приходило в голову называть скалярным произведением билинейную форму $\sum x_iy_i$ в комплексном случае или, пойдём ещё дальше, в случае нечисловых полей - конечных, к примеру, или ненулевой характеристики.

[ewert]

Но ведь как-то же эту форму назвать надо -- раз уж она нужна?

А для линейных пространств над произвольными полями нужна именно она: полуторалинейность специфична для комплексного случая и нужна только для введения нормы, которая в явном виде всё равно не используется.