Простой матан, sup f(x) \in C^2

[id]

$f(x) \in C^2[0,1]$
$f(0)=f(1)=f'(0)=0$, $|f''(x)| \leqslant 1$
Оценить $max |f(x)|$.

С помощью интерполяции полиномом Лагранжа первой степени ( тожд. 0 ) по двум узлам $0,1$ получаем оценку $|f(x)| \leqslant \frac 1 8$.

Где она достигается? Можно ли улучшить?

[ИСН]

Максимум достигается на сплайне из кусков квадратичных парабол, где вторая производная везде либо 1, либо уж -1. Арифметику не проверял.

[nn910]

ИСН в сообщении #236012 писал(а):

Максимум достигается на сплайне из кусков квадратичных парабол, где вторая производная везде либо 1, либо уж -1. Арифметику не проверял.

С маленькой поправкой что 2я производная этого сплайна разрывна.Считать максимум для этого сплайна, но макс.в $C^2$недостижим.

[ИСН]

А. Ой. Ну да: супремум вот такой, но не достигается.

[id]

Идею эту не пробовал, спасибо!

Однако, не уверен, что все это так. ( в задачнике было просто сказано, какие значения может принимать max )

[ewert]

Есть предложение -- доказать:

та тупая оценка для погрешности интерполяции никогда не достигается, за исключением, разумеется, случая, когда функция -- соотв. многочлен.

(Я лично не знаю, как доказывать, но любопытно.)

[id]

Задачка, кстати, из сборника олимпиадных задачек, поэтому может и не все так просто.

[nn910]

id в сообщении #236227 писал(а):

Однако, не уверен, что все это так. ( в задачнике было просто сказано, какие значения может принимать max )

Все так. Задача решается в уме геометрически, представив график первой производной.Ответ открытый справа интервал от 0 до $\dfrac{1}{2(1+\sqrt{2})^2}$. Проанализируйте себя, за что на нее почти сутки потрачены.