линейные пространства

[terminator-II]

ну оччень простая задача.
Привести пример линейного пространства над $\mathbb{R}$ в котором задана метрика и
1) данное линейное пространство полно как метрическое пространство
2) операции сложения и умножения на число непрерывны
3) всякое ограниченное множество является относительно компактным
4) данное линейное пространство ненормируемо (в том смысле, что не существует нормы, которая бы задавала топологию эквивалентную исходной)

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #235630 писал(а):

3) данное линейное пространство ненормируемо

??? Мне казалось, что любое векторное пространство над $\mathbb{R}$ нормируемо.

Или в третьем пункте имелось в виду, что норма должна задавать ту же топологию, что и исходная метрика?

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #235647 писал(а):

terminator-II в сообщении #235630 писал(а):

3) данное линейное пространство ненормируемо

??? Мне казалось, что любое векторное пространство над $\mathbb{R}$ нормируемо.

Или в третьем пункте имелось в виду, что норма должна задавать ту же топологию, что и исходная метрика?

да, пояснил

[AGu]

Может, сгодится $\ell^p$, где $0<p<1$?

[terminator-II]

AGu в сообщении #235680 писал(а):

Может, сгодится $\ell^p$, где $0<p<1$?

наверное сгодится, придется добавить еще один пункт

[id]

$\mathbb{R}^{\infty}$, кажется, подходит. ( с топологией произведения )

[terminator-II]

да, подходит, у меня был более сложный пример.

[id]

terminator-II
А какой у Вас?

[terminator-II]

аналитические функции в круге с топологией компактной сходимости

[id]

А что было так ( не так ) с примером AGu?
Не видел исходную версию задачи.

[terminator-II]

в исходной версии не было слов про относительную компактность

[id]

Ага, понятно. Спасибо.

-- Вс авг 16, 2009 21:53:00 --

Упс. А какой критерий компактности для таких $l_p$? При $p>1$ оно известно, да.

[terminator-II]

не знаю, но сомневаюсь, что $l^p,\quad p<1$ монтелевское

[id]

Последовательность ортов как контрпример?