Выразить функцию

[Nxx]

Есть некий нелинейный оператор A, такой, что для определенной функции f

$$Af=f$$

Можно ли отсюда как-то выразить функцию f, чтобы она оказалась с одной стороны равенства?

[Хорхе]

$f=(A-\mathbf 1)^{-1}(0)$.

[Nxx]

А как это будет в традиционных обозначениях?

-- Сб авг 15, 2009 19:47:32 --

Скажем, оператор такой:

$$Af(x)=\int \prod _x f(x) dx$$

[ewert]

Nxx в сообщении #235385 писал(а):

Скажем, оператор такой:

$$Af(x)=\int \prod _x f(x) dx$$

Не скажем. Произведений по всем иксам (а кстати и сумм, кстати) -- без дополнительных оговорок не бывает. А тут их и нетути.

[Nxx]

Здесь не произведение по всем иксам, а мультиплекативное дискретное интегрирование.

$$\prod _x f(x)=c \exp \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln f(t+1))^{(n-1)}|_{t=0}}{n!} B_n(x)\right) \,$$

[ewert]

Правая часть ни в малейшей степени не связана с левой. Если, конечно, её принудительно не связать; но, во-первых, это никак не было анонсировано, а во-вторых, в этом и смысла-то никакого.

[Nxx]

Другими словами,

$$A^{-1}f(x)=\frac{f'(x)}{f'(x-1)}$$

-- Сб авг 15, 2009 20:15:14 --

Вод это выражение нуждается в пояснении:

Хорхе в сообщении #235246 писал(а):

$f=(A-\mathbf 1)^{-1}(0)$.

Под единицей здесь какой-то единичный оператор понимается или просто единица? Можно это записать в алгебраических обозначениях?

[terminator-II]

-

[Nxx]

Исправил формулу.

-- Сб авг 15, 2009 20:25:00 --

terminator-II в сообщении #235403 писал(а):

можно понимать так, что речь идет об уравнении $f'(x+1)=f'(x)f(x)$?

Точнее, $f'(x+1)=f'(x+1)f(x)$

Но меня интересует именно операторное выражение.

[ewert]

Nxx в сообщении #235399 писал(а):

Под единицей здесь какой-то единичный оператор понимается или просто единица?

Оператор, конечно. Однако же контрпример некорректен, ибо А минус единичка вовсе не обязан быть обратим. Что этот контрпример всё ж таки оправдывает -- так это то, что исходная постановка задачи лишена смысла.

[terminator-II]

Nxx в сообщении #235406 писал(а):

Точнее, $f'(x+1)=f'(x+1)f(x)$

это тривиальщина какая-то
что значит

Nxx в сообщении #235406 писал(а):

операторное выражение.

[Nxx]

ewert в сообщении #235409 писал(а):

Nxx в сообщении #235399 писал(а):

Под единицей здесь какой-то единичный оператор понимается или просто единица?

Оператор, конечно. Однако же контрпример некорректен, ибо А минус единичка вовсе не обязан быть обратим.

Аминус единичка - это что? Единичный оператор - это ождественный оператор?

[ewert]

Естественно.

[Nxx]

Мне просто такая нотация не знакома, но часто попадается. Где можно посмотреть?

[ewert]

Где угодно. Во всех книжках обозначения разные, но в любой наперёд заданной -- к обозначениям очень легко подстроиться.