2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение11.03.2009, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Sonic86 писал(а):
$y^2+2=x^3$. От противного находим, что $x,y$ нечетные. Пусть $j= \sqrt{-2}$, тогда в $\mathbb{Z}[j]$ будет $(y+j)(y-j)=x^3$. Находим НОД:
$gcd (y+j; y-j) = gcd (y+j; 2j) = gcd (y+j; j) = gcd (y; j)=1$.
Во 2-м и 4-м переходе используется то, что $y$ - нечетное.
Действ., $y+j = 2m \Rightarrow y^2-2=N(y+j) = 4m^2$, то есть, что $y^2-2$ кратно 2, что неверно. И так же из $y=jm \Rightarrow y^2=N(y)=2m^2$ следует, что $y$ кратно 2, что неверно.
$gcd (y+j; y-j) = 1, (y+j)(y-j)=x^3 \Rightarrow y+j=(p+qj)^3, y-j=(p-qj)^3$, откуда
$j= \frac{(p+qj)^3-(p-qj)^3}{2}=qj(3p^2-2q^2)$, откуда $q=p=1$, а значит $y=(1+j)^3-j=-5, x=3$.

Если пообобщать на $y^2+k=x^3, k>0$, то будет верно для всех $k$, свободных от квадратов. (Если я в док-ве не ошибся.)

Обобщение верно, но есть нюанс.
Переход от взаимной простоты двух алгебраических чисел к утверждению, что каждое число есть куб, в общем случае не верен.
$a^2+7=b^3$ имеет решение $a=1,y=2$, которое нельзя получить этим методом.
$a+\sqrt { - 7}=(x+y\sqrt { - 7} )^3=A+B \sqrt { - 7}  $
$B=3x^2y-7y^3 \ne 1$ ни при каких целых $x,y$
Это связано это с неоднозначностью разложения на простые множители в кольце целых алгебраических чисел $R(\sqrt { - 7})$
Норма $N(1+\sqrt { - 7})=8$. Но $2$ не является нормой ни для какого числа.
$x^2+7y^2 \ne 2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 16:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ну вот, так и знал, что где-то ошибка.
:( Не было систематического курса...

Добавлено спустя 56 минут 52 секунды:

Все же, так можно решить уравнение, упомянутое Матом: $y^2+2=x^n$ - действительно нет решений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 16:25 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Тут важно, чтобы в вашем кольце можно было однозначно разложит на простыею Кольцо целых $Q[\sqrt{-2}]$ кажется этим свойством обладает. Основной ошибкой Ламе в доказательстве ВТФ было именно это.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2009, 15:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Кстати, семерка в плане уравнений Морделла вообще удивительное число:
$$1^2+7=2^3$$
$$3^2+7=2^4$$
$$5^2+7=2^5$$
$$11^2+7=2^7$$
И очень похоже, что таких равенств очень и очень много

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2009, 17:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Мат писал(а):
Кстати, семерка в плане уравнений Морделла вообще удивительное число:
$$1^2+7=2^3$$
$$3^2+7=2^4$$
$$5^2+7=2^5$$
$$11^2+7=2^7$$
И очень похоже, что таких равенств очень и очень много

Равенств вида $m^2 + 7 = 2^n$ не может быть очень много. Они сводятся лишь к трем кривым Морделла:
$$(2^k y)^2 = (2^k x)^3 - 2^{2k} 7,$$
где $k=0,\,1$ или $2$.
К указанным выше решениям добавляется лишь:
$$181^2 + 7 = 2^{15}.$$
Других нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2009, 01:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal писал(а):
Равенств вида $m^2 + 7 = 2^n$ не может быть очень много. Они сводятся лишь к трем кривым Морделла:
$$(2^k y)^2 = (2^k x)^3 - 2^{2k} 7,$$
где $k=0,\,1$ или $2$.
К указанным выше решениям добавляется лишь:
$$181^2 + 7 = 2^{15}.$$
Других нет.

Интересно, но доказательство мне не совсем понятно. Хотя ладно, Бог с ним.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:38 


06/12/08
115
Maxal

Здравствуйте, уважаемый maxal!
Вчера скатал сообщение на свою тему и решил глянуть что есть вокруг и обнаружил открытую Вами тему.
В целом я одобряю Ваши намерения.
С книжкой Серпинского я знакомился. И не доволен. Там много кратких упоминаний. Словно его жестко ограничили объемом, а он стремился в этот урезанный объем втиснуть как можно больше информации. Раскрытия и комментарии необходимы.
Но этого, на мой взгляд, недостаточно. Полагаю есть потребность, чтобы кто-нибудь из российских математиков взялся да написал настоящую книгу страниц этак на 500—800, да в двух томах. Первый том в духе Серпинского. Во втором томе сделать попытку популярного, разъяснительного изложения современной теории чисел. С уважением Petern1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2009, 05:03 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Petern1 в сообщении #200054 писал(а):
С книжкой Серпинского я знакомился. И не доволен. Там много кратких упоминаний. Словно его жестко ограничили объемом, а он стремился в этот урезанный объем втиснуть как можно больше информации.

Так в принципе и есть. Русское издание ``О решении уравнений в целых числах'' - это по сути урезанная версия книги:
Sierpinski W. — Elementary Theory of Numbers
объём которой примерно в 5 раз больше. Но вот на русском языке эта книга не издавалась, к сожалению.

 Профиль  
                  
 
 Re: читая Серпинского ``О решении уравнений в целых числах''...
Сообщение03.08.2009, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
На стр. 35, обсуждая решение $x^2+y^2=z^2+1$ (целые точки на гиперболоиде), Серпинский приводит два полиномиальных решения этого уравнения:
$$ (n^2+n-1)^2+(2n+1)^2 = (n^2+n+1)^2+1, 
\qquad (2n(4n+1))^2 + (16n^3-1)^2 = (16n^3+2n)^2 + 1. $$Какие еще есть полиномиальные решения? Исчерпывают ли они хотя бы все нечетные ($xyz\equiv1\pmod2$) решения уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: читая Серпинского ``О решении уравнений в целых числах''...
Сообщение03.08.2009, 17:04 


23/01/07
3415
Новосибирск
Не знаю, какие решения относятся к полиномиальным?

Может, такое тоже пойдет?
$(2n)^2+(2n^2-1)^2 = (2n^2)^2+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: читая Серпинского ``О решении уравнений в целых числах''...
Сообщение04.08.2009, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Бодигрим в сообщении #232646 писал(а):
Какие еще есть полиномиальные решения?


Есть более общая задача. Найти все решения диафантова уравнения
$X^2  + Y^2  - Z^2  = A^2 $ (1)
Решается довольно просто.
$ X^2  + Y^2  = Z^2  + A^2  $
$Z^2  + A^2$ не может быть простым числом, ибо простое число представимо ввиде суммы квадратов единственным способом с точностью до порядка слагаемых.
С другой стороны, все его сомножители представимы в виде суммы квадратов.
$ Z^2  + A^2  = (a^2  + b^2 )(x^2  + y^2 ) = (ax + by)^2  + (ay - bx)^2  = (ax - by)^2  + (ay + bx)^2  $ (2)
пусть $ (a,b) = 1$
и $ ay + bx = A $
Все решения этого уравнения есть
$ x = Ab^{\varphi (a) - 1}  + at $
$ y = A\frac{{ - b^{\varphi (a)}  + 1}}{a} - bt  $
$ \varphi (a)$ - числовая функция Эйлера.
Подставляя эти решения в (2) получим все решения и исходного уравнения (1).
Можно упростить, сузив клаасс решений при $a=1$.
Тогда
$x = A + t$
$ y = A( - b + 1) - bt$

 Профиль  
                  
 
 Re: читая Серпинского ``О решении уравнений в целых числах''...
Сообщение05.08.2009, 20:22 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
// Обсуждение линейный диофантовых уравнений и алгоритма Евклида отделено в тему:

линейные диофантовы уравнения и алгоритм Евклида

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group