слабая сходимость в L_1

[g-a-m-m-a]

Можно ли как-то определить слабую сходимость в $L_1?$

[terminator-II]

а что нужно собсна? $(L^1(bounded measurable set))^*=L^\infty(the same)$

[g-a-m-m-a]

что-то моя не понимать((

[terminator-II]

каков вопрос таков ответ

[g-a-m-m-a]

просто сегодня столкнулась с весьма странным определением слабой сходимости в $L_1:$ последовательность $\{x_k(\cdot)\},\,x_k(\cdot)\in L_1([0,\,T])$ сходится слабо к $x(\cdot)\in L_1([0,\,T]),$ если

$$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_0^T<x_k(t),\,h(t)>dt=\int\limits_0^T<x(t),\,h(t)>dt,\:\forall h(\cdot)\in L^\infty([0,\,T])$$

[terminator-II]

g-a-m-m-a в сообщении #226978 писал(а):

просто сегодня столкнулась с весьма странным определением слабой сходимости в $L_1:$ последовательность $\{x_k(\cdot)\},\,x_k(\cdot)\in L_1([0,\,T])$ сходится слабо к $x(\cdot)\in L_1([0,\,T]),$ если

$$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_0^T<x_k(t),\,h(t)>dt=\int\limits_0^T<x(t),\,h(t)>dt,\:\forall h(\cdot)\in L^\infty([0,\,T])$$

ничего странного нет. это следствие той теоремы, которую я написал. любой линейный функционал в $L^1[0,T]$ имеет вид $f(u)=\int_0^Th(x)u(x)dx$ где $h\in L^\infty[0,T]$

[ewert]

Это в точности и означает, что пространство $L^{\infty}$ является сопряженным к $L_1$ (поскольку слабая сходимость -- это сходимость под любым функционалом). А угловые скобки -- наверное, потому, что функции -- векторнозначные, и имелось в виду скалярное произведение.

[id]

Хм... Вспомнился вопрос, на который как-то не ответил, как раз по теме - а будет ли $\sigma (L_1,L_\infty)$ слабейшей топологией, в которой соответствующие функционалы секвенциально ( "по Гейне" ) непрерывны? Т.е. заранее понятно, что эта гипотетическая "секвенциально-слабая" топология не имеет первой аксиомы счетности.

P.S. Надеюсь, автор не обидится на такое вмешательство.

[terminator-II]

id в сообщении #227023 писал(а):

Вспомнился вопрос, на который как-то не ответил, как раз по теме - а будет ли $\sigma (L_1,L_\infty)$ слабейшей топологией, в которой соответствующие функционалы секвенциально ( "по Гейне" ) непрерывны?

и как отвечать на этот вопрос?

[g-a-m-m-a]

кстати, а пространство $L_1$ является слабо полным?

[CowboyHugges]

Да

[id]

terminator-II
Не знаю, поэтому и спросил.