нелинейные уравнения в R^n

[terminator-II]

рассмотрим отображение $g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m, \quad g\in C^1(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^m)$.
пусть $K\subset \mathbb{R}^m$ -- компакт. предположим, что для любых $x',x''\in K^c=\mathbb{R}^m\backslash K,\quad x'\ne x''$ справедливо неравенство $\|g(x')-g(x'')\|\ge c\|x'-x''\|$, где $c>0$ -- константа.

задача: доказать, что уравнение $g(x)=a$ разрешимо относительно $x$ при любом $a\in\mathbb{R}^m.$

[nn910]

terminator-II в сообщении #225119 писал(а):

рассмотрим отображение $g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m, \quad g\in C^1(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^m)$.
пусть $K\subset \mathbb{R}^m$ -- компакт. предположим, что для любых $x',x''\in K^c=\mathbb{R}^m\backslash K,\quad x'\ne x''$ справедливо неравенство $\|g(x')-g(x'')\|\ge c\|x'-x''\|$, где $c>0$ -- константа.

задача: доказать, что уравнение $g(x)=a$ разрешимо относительно $x$ при любом $a\in\mathbb{R}^m.$

Достаточно других условий:
для любых $x',x''\in K^c=\mathbb{R}^m\backslash K,\quad x'\ne x''$ справедливо двойное неравенство $\delta_1(x',\|x'-x''\|)\ge\|g(x')-g(x'')\|\ge \delta(\|x'-x''\|)$, $\delta_1(x,r)$стремится к 0 при каждом х, $\delta(r)>0$Первое неравенство отражает непрерывность g, второе- равномерную непрерывность обратной функции там, где она пока определена. Из второго следует также инъективность g вне компакта. Пусть U -образ g. Достаточно показать что U и открыто, и замкнуто. Замкнутость:для сходящейся последовательности $g(x_n)$ из U-g(K) критерий Коши, а из 2 неравенства критерий Коши выполняется и для $x_n$,что дает нужную точку х. Открытость:Пусть точка y=g(x) вне g(K)-компакта, тогда для функции $\delta(r)$из второго неравенства существует V: $r$-окрестность х вне К и $\delta(r)$-окрестность y вне g(K). g на V является гомеоморфизмом на свой образ.Из топологического определения размерности g(V) содержит некоторый m-мерный шар W (там это трудный факт, Вы же для этого собирались использовать непрерывную дифференцируемость g), содержащий точку у, из второго неравенства выводится что можно взять шар W радиусом $\delta(r)$.
Из-за связности $\mathbb{R}^m$ открытое замкнутое непустое $U\subset \mathbb{R}^m$-все пространство. Извиняюсь так вышло теги не грузятся

[terminator-II]

nn910 в сообщении #225931 писал(а):

Достаточно других условий:

на самом деле данное утверждение является частным случаем такого:

Теорема
непрерывная функция $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m$ обладает следующими свойствами.
1) прообраз всякого ограниченного множества ограничен
2) существует открытое множество $U,\quad U\ne\emptyset$ такое, что $f$ является взаимнооднозначным между $U$ и $f^{-1}(U)$.
Тогда $f$ -- сюрьекция.

nn910 в сообщении #225931 писал(а):

Пусть точка y=g(x) вне g(K)-компакта, тогда для функции $\delta(r)$из второго неравенства существует V: $r$-окрестность х вне К и $\delta(r)$-окрестность y вне g(K)

я не понял этой фразы.

nn910 в сообщении #225931 писал(а):

там это трудный факт, Вы же для этого собирались использовать непрерывную дифференцируемость g)

я вообще действовал совершенно иначе: использовал топологическую степень. степень непрерывных отображений вводится посредством аппроксимации их гладкими. Но в случае некомпактного многообразия были нюансы, я с ними не сразу разобрался, поэтому в начале предполагал гладкость $C^1$ . пожалуйста, напишите свое решение подробней мне это очень интересно.

[nn910]

terminator-II в сообщении #225955 писал(а):

nn910 в сообщении #225931 писал(а):

Пусть точка y=g(x) вне g(K)-компакта, тогда для функции $\delta(r)$из второго неравенства существует V: $r$-окрестность х вне К и $\delta(r)$-окрестность y вне g(K)

я не понял этой фразы.

Имел в виду что найдутся два столь малых шара один (r) в прообразе другой в образе,что их радиусы связаны функцией $\delta(r)$ и каждый из них не пересекается с компактами (потому что они компакты).Извините сейчас подробней не могу. Опять теги не грузятся

[terminator-II]

nn910 в сообщении #225931 писал(а):

terminator-II в сообщении #225119 писал(а):

рассмотрим отображение $g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m, \quad g\in C^1(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^m)$.
пусть $K\subset \mathbb{R}^m$ -- компакт. предположим, что для любых $x',x''\in K^c=\mathbb{R}^m\backslash K,\quad x'\ne x''$ справедливо неравенство $\|g(x')-g(x'')\|\ge c\|x'-x''\|$, где $c>0$ -- константа.

задача: доказать, что уравнение $g(x)=a$ разрешимо относительно $x$ при любом $a\in\mathbb{R}^m.$

Достаточно других условий:
для любых $x',x''\in K^c=\mathbb{R}^m\backslash K,\quad x'\ne x''$ справедливо двойное неравенство $\delta_1(x',\|x'-x''\|)\ge\|g(x')-g(x'')\|\ge \delta(\|x'-x''\|)$, $\delta_1(x,r)$стремится к 0 при каждом х, $\delta(r)>0$Первое неравенство отражает непрерывность g, второе- равномерную непрерывность обратной функции там, где она пока определена. Из второго следует также инъективность g вне компакта. Пусть U -образ g. Достаточно показать что U и открыто, и замкнуто. Замкнутость:для сходящейся последовательности $g(x_n)$ критерий Коши, а из 2 неравенства критерий Коши выполняется и для $x_n$,что дает нужную точку х. Открытость:Пусть точка y=g(x) вне g(K)-компакта, тогда для функции $\delta(r)$из второго неравенства существует V: $r$-окрестность х вне К и $\delta(r)$-окрестность y вне g(K). g на V является гомеоморфизмом на свой образ.Из топологического определения размерности g(V) содержит некоторый m-мерный шар W (там это трудный факт, Вы же для этого собирались использовать непрерывную дифференцируемость g), содержащий точку у, из второго неравенства выводится что можно взять шар W радиусом $\delta(r)$.
Из-за связности $\mathbb{R}^m$ открытое замкнутое непустое $U\subset \mathbb{R}^m$-все пространство. Извиняюсь так вышло теги не грузятся

я не понял деталей доказательства (будем надеяться, что проблемы с тегами разрешаться), но по тому, как Вы используете неравенства, у меня сложилось впечатление, что фактически Вы доказываете , что $g(K^c)=\mathbb{R}^m$. Так ли это?

[nn910]

terminator-II в сообщении #225990 писал(а):

у меня сложилось впечатление, что фактически Вы доказываете , что $g(K^c)=\mathbb{R}^m$. Так ли это?

Нет.У $g(K^c)$и у вообще говоря меньшего множествае $U-g(K)$ разумеется не будет замкнутости.Показываем что замыкание $U-g(K)$ содержится в $U=g(\mathbb{R}^m)$-дополнил 2 слова в тот пост. Открытость у $U-g(K)$ будет, для этого для точки у из $U-g(K)$ показано что она входит туда с некоторым шаром. Пробел вижу, надо доказать то же для у из границы $g(K)$,т.е. что U обволакивает $g(K)$без пробелов-пузырей, сл-но опять использовать размерность.И это пока не получается. Еще подумаю.Кстати теги загрузились через час .Им антихакер похоже мешает.